Могут ли две одинаковые звезды вращаться вокруг друг друга по общей орбите, если учитывать только ньютоновскую физику?

Да, это может случиться. Это частично реализовано в позитронии, связанном электронном состоянии, в котором электрон и позитрон вращаются друг вокруг друга. Оба имеют одинаковую массу, поэтому они могут (классически) иметь одинаковую сферическую орбиту.

У Ньютона есть сила притяжения двух тел одинаковой массы.$m$из

$$F = G \frac{m^2}{d^2}.$$

Центростремительная сила, необходимая для движения по орбите радиусом$d/2$является

$$F = m \frac{v^2}{d/2} = m \omega r^2,$$ где $v$- тангенциальная скорость и $\omega$угловая частота.

Установите их равными, и вы получите:

$$G \frac{m^2}{d^2} = 2 m \frac{v^2}{d} \iff G \frac{m}{2d} = v^2 \iff v = \sqrt{\frac{Gm}{2d}},$$ что ты и получил.

Вы можете получить более глубокое понимание, если посмотрите на метод Якоби для задачи двух тел. Там вы отделяете движение центра масс от относительного движения. Вы определяете относительное расстояние$r$между двумя телами. Тогда вам нужна уменьшенная масса

$$\mu := \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$ что просто $\mu = m/2$в случае двух равных масс.

Тогда ваша проблема не два тела в их взаимном гравитационном поле, а одно тело с уменьшенной массой в поле другой частицы. Так что у нас похожая проблема. Сила

$$G \frac{m \mu}{d^2}.$$

Эта сила силы вдвое меньше, чем раньше. Однако теперь центростремительная сила должна быть рассчитана с помощью$d$радиус, а не$d/2$как прежде. Сила также вдвое меньше. Поэтому результат точно такой же.

Вывод теперь идет:

$$G \frac{m \mu}{d^2} = m \frac{v^2}{d} \iff G \frac{m^2}{2 d^2} = m \frac{v^2}{d} \iff G \frac{m}{2 d} = v^2,$$ который у меня был раньше.

Два тела с одинаковой массой вращаются вокруг своего центра масс — именно так работает ньютоновская гравитация.

Ваша аналогия с бегунами на самом деле довольно хороша. Подумайте об этом так: два тела всегда притягиваются друг к другу, поэтому они немного ускоряются в этом направлении. Обратите внимание, что «к другому телу» обязательно означает «к центру масс». Но тогда другое тело движется куда-то еще, поэтому направление ускорения изменяется соответствующим образом. Но это все еще ближе к центру масс. И мы знаем, что центр масс должен двигаться с постоянной скоростью (при условии, что вокруг нет других тел), так как импульс сохраняется, поэтому преобразование в координаты центра масс является простым и интуитивно понятным. Если бы величина ускорения всегда была одинаковой, вы бы получили круговую орбиту вокруг центра масс,

Что касается наблюдаемого примера... трудно найти две точно или почти равные по массе звезды (или планеты, луны и т. д.), см. объяснение здесь . Но орбиты вокруг центра масс, расположенного за пределами любого из вращающихся тел, довольно распространены, например, многие двойные звезды имеют эту особенность.