Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?

В рамках статистической механики, в книгах и лекциях, когда формулируются основные положения, т. е. фазовое пространство, уравнение Гамильтона, плотность и т. д., обычно предполагается, что фазовое пространство р 2 н , где может быть д я -координаты обрезаются, чтобы получить конечный объем.

В книгах по гамильтоновой механике, особенно в книгах по математике, нужно симплектическое пространство ( М , ю ) и, конечно же, гамильтониан. Теперь обязательно, локально ю похоже на каноническую форму Θ "=" г д я ∧ г п я .

Существуют ли какие-либо важные задачи классической механики, для решения которых можно сформулировать менее тривиальную задачу? ю , а что глобально ?

Я хотел бы увидеть глобальное выражение, которое отличается от Θ (и не только Θ в разных глобальных координатах). Это была бы нетривиальная форма, которая могла бы возникнуть над более топологически сложным пространством, чем р 2 н , возможно, из-за ограничений механической системы. И, возможно, вы получите такую ​​форму после уменьшения фазового пространства, но я на самом деле не знаю какой-либо явной механической проблемы, для которой она вам нужна.

Ответы (3)

Фазовые пространства, не являющиеся кокасательными расслоениями, могут быть реализованы в механических системах с ограничениями фазового пространства. Фазовое пространство, данное Арнольдом: две сферы С 2 может быть механически реализована как приведенная динамика энергетической гиперповерхности двумерного изотропного гармонического осциллятора:

| п 1 2 | + | п 2 2 | + | д 1 2 | + | д 2 2 | "=" Е

Заметим, что гамильтониан порождает постоянную скорость вращения в ( п , д ) самолетов, а именно:

( п я ( т ) + я д я ( т ) ) "=" е Икс п ( − я Е я т ) ( п я ( 0 ) + я д я ( 0 ) )

Таким образом, мы можем рассмотреть систему с точки зрения «вращающейся системы в фазовом пространстве», в которой вектор в ( п 1 , д 1 ) самолет всегда в направлении д 1 . Конечно, мы не можем сделать это на обеих плоскостях, потому что у нас есть только одна степень свободы. Таким образом, у нас остается:

| п 2 2 | + | д 1 2 | + | д 2 2 | "=" Е ,

что является просто уравнением двух сфер. Таким образом, редуцированная динамика гиперповерхности с постоянной энергией находится на двумерной сфере.

Симплектическая форма должна быть пропорциональна площади сферы, потому что это форма объема сферы, а двойная сфера имеет только одну форму объема.

Этот подход дает нам очень большой бонус при квантовании. Хорошо известно, что из квантования сферы получается спиновое квантование. С точки зрения изотропного осциллятора для Е "=" 2 Дж ℏ , ( Дж является полуцелым), это квантование соответствует следующим энергиям отдельных осцилляторов: ( 2 Дж , 0 ) , ( 2 Дж − 1 , 1 ) , . , . , . , ( 0 , 2 Дж ) . Как видно, имеется ровно (2j+1) состояний, как в спиновой системе.

Полная теория квантования позволяет записывать соответствующие волновые функции также в координатах двух сфер. Таким образом, мы фактически квантовали изотропный осциллятор, используя спиновое квантование.

Эквивалентность этой процедуры стандартному квантованию изотропного гармонического осциллятора - это очень известная теорема Гиймена и Штернберга, названная «Квантование коммутирует с редукцией». На самом деле, это принцип, который мы применяем, когда квантоваем калибровочные теории (хотя формального доказательства для бесконечномерного случая нет). В сети можно найти множество работ на эту тему.

«Фазовое пространство, данное Арнольдом»… фраза, которую раньше использовали поколения физиков.

Как правило, коприсоединенные орбиты группы Ли дают важные примеры глобальных симплектических многообразий. Обычно такие системы получаются симплектической редукцией из более фундаментального описания.

Например, волчок моделируется для постоянного Дж 2 на симплектическом многообразии С 2 это коприсоединенная орбита группы вращений С О ( 3 ) . Он получается симплектическим приведением из Н -частичная модель твердого тела. (Если Дж 2 не берется фиксированным, требуется более общее описание в терминах трехмерного многообразия Пуассона.)

Есть масса более продвинутых таких моделей. См. книгу «Механика и симметрия» Марсдена и Ратиу.

В более общем смысле гамильтонова динамика в алгебрах Пуассона также является не просто математической игрой, но и важна в приложениях. Например, гамильтоново описание реалистичных жидкостей требует бесконечномерного многообразия Пуассона. Об уравнении Эйлера см., например,
П. Дж. Моррисон, Гамильтоново описание идеальной жидкости, Reviews of Modern Physics 70 (1998), 467.
http://www.ph.utexas.edu/~morrison/98RMP_morrison.pdf

Но симплектическое многообразие в этом случае — это просто кокасательное расслоение к S^3/Z_2. Это не кажется мне хорошим примером, поскольку мне казалось, что вопрос касается случая, когда симплектическая структура не является кокасательным расслоением многообразия, и я не мог сразу придумать пример.
@RonMaimon: ОП запросил случай, когда симплектическая структура глобально отличается от Θ . С другой стороны, существует много многообразий Ли-Пуассона, коприсоединенные орбиты которых не являются кокасательными пространствами; просто нужно взять большие группы Ли и физические системы, которые имеют их в качестве группы симметрии.
Но удручает то, что они не проявляются как физические фазовые пространства реальных объектов. Я пытался думать об одном случае в классических реализуемых системах.
@RonMaimon: Они появляются, например, в гидромеханике. Смотрите дополнение к моему ответу.
@Арнольд: Спасибо за ответ. Из третьего от последнего утверждения (в скобках) в вашем ответе следует, что изучение динамических систем может также потребовать работы с общими пуассоновскими многообразиями (т.е. без какой-либо лежащей в их основе симплектической структуры). Это правда? Интуитивно представляется, что случай, когда Дж 2 не является фиксированным, можно просто описать в терминах некоторого «большего» симплектического многообразия.
@dushya: Это правда? да. Фактически, структура Пуассона — это правильный уровень для выполнения абстрактной классической механики. См. главу 3 на arxiv.org/abs/0810.1019 . См. также дополнение в конце моего ответа. У Марсдена и Ратиу есть общие сведения о динамике в алгебрах Пуассона, но у Моррисона детали гораздо ближе к приложениям.

Любая двумерная замкнутая ориентируемая поверхность может иметь структуру симплектического многообразия (вы можете положить свою симплектическую форму равной форме объема). Более того, оно будет «нетривиальным» в смысле отличного от кокасательного расслоения некоторого другого многообразия. Также, если у вас есть некоторое симплектическое многообразие, вы всегда можете определить на нем классическую механическую систему, введя функцию Гамильтона и написав соответствующие уравнения эволюции во времени.

Одним из явных примеров является тор, который можно получить из фазового пространства. р 2 одной частицы, сделав следующие отождествления по положению и импульсу:

Икс + л 1 "=" Икс

п + л 2 "=" п

Теперь любая функция ЧАС ( Икс , п ) который является периодическим по Икс и п с периодами л 1 и л 2 соответственно может служить функцией Гамильтона на торе.

Хорошо, пример тора как компактификации не так интересен сам по себе, т.е. без указания фактической формы, которая имеет физический смысл (поскольку каноническая форма снова была бы здесь первой идеей). Но я вижу, что из этого утверждения о 2-мерных многообразиях есть С 2 а у вас наверное там форма посложнее должна быть, тк грех ⁡ ( ϑ )   г ф ∧ г ϑ или так. Имеются в виду какие-либо реальные механические проблемы?
Я не уверен ... по крайней мере, для компактного симплектического многообразия кажется, что существует «нефизическое» ограничение на импульс, которое может быть проблематичным в «реальной» реализации соответствующей физической системы.
Это не очень хороший ответ, он ищет искривленное фазовое пространство, а не идентифицированное (но это не так плохо, как я думал - p идентифицировано, так что это честный пример, где фаза пространство не является кокасательным расслоением конфигурационного пространства, хотя это немного тривиально). Насколько мне известно, механической системы с p-фазным пространственным тором не существует. Как вы классически реализуете ограничение p-периодичности? Вы можете сделать это только в квантовой системе с пространственной решеткой. Возможно, этого достаточно, подумайте о классическом пределе квантовой системы на решетке.
Может быть, Ник ищет какую-то реальную физическую систему, фазовое пространство которой не является кокасательным расслоением... верно, Ник? и, как я уже сказал, я не уверен, что они могут быть.
Моя мотивация на самом деле состоит в том, чтобы выяснить, является ли математическое определение в этом подходе чрезмерным. Даже если физические проблемы мотивировали математические исследования и открытие расширения и вложения в сложную дифференциально-геометрическую картину с ее возможностями ... нет необходимости использовать полный (математический) формализм гамильтоновой системы в определении, если он никогда не будет когда-либо использовал.
@NickKidman: Описание кокасательного пучка определенно используется — некоторые частицы с силами отталкивания вынуждены скользить по сфере, тору или гиперболической плоскости, так что фазовое пространство включает нетривиальное многообразие в позиционной части. Часть, которая используется не слишком часто, — это общее понятие симплектического пространства, которое несколько слишком общее для механики, но, возможно, не для классических пределов квантовых систем.
Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v