Теорема Лиувилля и сохранение топологии

Вот то, что я считаю простым доказательством. К сожалению, он использует немного когомологии.

Рассмотрим каноническую 2-форму в расширенном фазовом пространстве$T^*M \times \mathbb{R}$

$$\omega = \sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt ,$$

где$N = dim(M)$. Функция$f: M \to M$называется каноническим преобразованием тогда и только тогда, когда$f^* \omega = \omega$. Таким образом, для любого канонического преобразования

$$\sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt = \sum_{i=1}^N dQ_i \wedge dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) \wedge dT ,$$

где мы определили$(\vec{Q},\vec{P},T) = f^*(\vec{q},\vec{p},t)$. Это значит, что

$$\sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt - \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) = dG ,$$

т. е. что тавтологические формы, связанные с каноническими 2-формами, являются элементами одного и того же класса когомологий де Рама. В силу гомотопической инвариантности когомологий де Рама

$$\oint_\gamma \left( \sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt \right) = \oint_{\Gamma} \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) ,$$

где$\Gamma$это образ кривой$\gamma$к$f$.

Поскольку движение можно рассматривать как каноническое преобразование, мы только что доказали, что гамильтонова эволюция в расширенном фазовом пространстве должна связывать только гомотопические кривые. Следствием этого является то, что если вы начнете с компактного односвязного множества в фазовом пространстве и проследите его эволюцию во времени, кривая, ограничивающая это множество, может развиваться только до других, гомотопных ей. Поскольку граница односвязного множества никогда не гомотопна неодносвязной границе, мы только что показали, что гамильтонова эволюция переводит односвязные множества в односвязные множества.

Мне очень жаль, если это слишком технично. Я слишком невежествен, чтобы предложить доказательство с более простыми аргументами (что указывает на то, насколько ограничены мои знания по этому вопросу).

РЕДАКТИРОВАТЬ: Небольшая коррекция размера.

По основной теореме о связности в общей топологии непрерывные отображения сохраняют связность. Эволюция во времени гамильтоновых систем сохраняет связность, поскольку она непрерывна. Я думаю, что это не зависит от теоремы Лиувилля, это просто требует доказательства того, что эволюция гамильтониана во времени непрерывна.

Это всего лишь формальный способ переформулировать ответ @StevenMathey.

---

Теорема Лиувилля утверждает, что временная эволюция гамильтоновых систем сохраняет объем. Сохранение объема и непрерывность являются независимыми свойствами.

Рассмотрим эти простые негамильтоновы системы:

$$\begin{align} & && \text{volume preserving} && \text{continuous} \\ \dot{q} &= sgn(q) && + && -\\ \dot{q} &= -q && - && + \end{align}$$ Поскольку это системы 1-го порядка, о непрерывности и сохранении объема можно судить просто по конфигурационному пространству или по фазовому пространству, как для гамильтоновых систем.

Я ничего не могу доказать. Я надеюсь, что этот аргумент с размахиванием рук вас удовлетворил.

Гамильтонова динамика — непрерывный процесс. Две соседние точки фазового пространства могут только непрерывно удаляться друг от друга. Внезапного скачка нет.

Фазовое пространство не может быть расщеплено в дизъюнктном ансамбле конечной временной эволюцией, потому что если бы это было так, то между дизъюнктными областями была бы граница. Это возможно только в том случае, если эта граница уже присутствует в начальных условиях.

Представьте, что у вас есть один замкнутый набор начальных условий в фазовом пространстве. Если в какой-то момент времени это множество разорвалось надвое, то оно должно содержать некоторые точки, идущие по одну сторону, и некоторые точки, идущие по другую, хотя в начале временной эволюции они бесконечно близки друг к другу. Это означает, что в какой-то момент у вас есть прерывистый скачок.

ЗАМЕЧАНИЕ. Возможно, я неправильно интерпретировал вопрос. Я интерпретировал это так, как если бы они относились к общему объему фазового пространства.

Ответ отрицательный, если вопрос касается общих изменений во времени топологии тотального пространства фаз и если вы не накладываете на топологию пространств каких-либо генерических ограничений, таких как компактность (см. последний комментарий). Это связано с основными фактами, гораздо более элементарными, чем теорема Лиувилля.

Рассмотрим следующую ситуацию: частица, которая свободна, за исключением того факта, что она вынуждена оставаться на кривой без трения, полученной пересечением конуса и плоскости, наклон которой зависит от времени по известному закону. Эта кривая переходит из окружности в гиперболу за конечный промежуток времени, меняя свою топологию. Нет никаких трудностей в переводе этой задачи из ньютоновской механики в лагранжеву механику, использующую локальные системы координат, определяющие атлас на многообразии, являющемся$2D$многообразие, расслоенное над осью времени$\mathbb R$, Я имею в виду$\cup_{t \in \mathbb R}Q_t$, где каждый лист$Q_t$это конфигурационное пространство во времени$t$(это общее многообразие не является расслоением над$\mathbb R$следовательно, так как слои не диффеоморфны и это не локальное декартово произведение). Дело в том, что смена топологии происходит на бесконечности: окружность$Q_t$становится все больше и больше по мере$t$увеличивается и на некоторое время$t_0$, она становится диффеоморфной прямой. Кроме того, в этой модели никакое начальное условие для точки на кривой не может вызвать движение, достигающее бесконечности, где происходит изменение топологии, за конечный промежуток времени. Поэтому никто не может увидеть изменение топологии. (Это сильно зависит от динамики, нельзя допускать решений с разрушением.)

Поскольку переход от ньютоновской механики к лагранжевой механике осуществляется в локальных координатах, то не возникает проблем с записью лагранжиана частицы в локальных координатах$t,q$. Пространство -время конфигураций,$stQ$, существует как гладкое многообразие, хотя пространство конфигураций$Q_t$(которое является гладким вложенным подмногообразием$stQ$для каждого времени) меняет топологию во времени.

Вектор положения в физическом$3$-пространство$\vec{x}= \vec{x}(t,q)$где появление$t$связано с тем, что ограничение меняет свой вид во времени. Этот лагранжиан всегда имеет вид

$$L(t, q, \dot{q})= \frac{1}{2} m\vec{v}^2= \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}^2 + m \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t} \dot{q} + \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\:.$$ Этот лагранжиан определен на многообразии, имеющем вид $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$(последний фактор — домен $\dot q$). Топология секций, помеченных $t$изменяется во времени по мере того, как первая гомотопическая группа снова переходит из $\mathbb Z$к $1$. Так как квадратичная форма $\frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}$является невырожденным, преобразование Лежандра корректно определено: $$p = \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}$$ и гамильтонов подход может быть реализован. Каждый участок локальной координаты $t,q, \dot{q}$порождает локальную координатную заплату $t,q,p$. Общее многообразие, пространство-время фаз $stF$снова имеет вид $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$(последний фактор теперь является доменом $p$). Как и прежде, топология каждого пространства фаз $F_t = Q_t \times \mathbb R$меняется во времени, так как опять же первая гомотопическая группа переходит из $\mathbb Z$к $1$.

С помощью аналогичного аргумента, я думаю, можно было бы перейти от связанного конфигурационного пространства к несвязанному, так что пространство фаз аналогично переходит от связанной топологии к несвязанной. Подумайте о свободной точке, за исключением того факта, что она вынуждена оставаться на кривой без трения.$Q_t$формы$\subset \hskip -3pt \supset$длина которого (я имею в виду расстояние от$\subset$и$\supset$) увеличивается во времени, становясь бесконечным за конечный промежуток времени, с этого момента кривая разделяется на пару параллельных прямых. Это по-прежнему можно описать в гладком пространстве-времени конфигураций вида$\cup_{t \in \mathbb R} Q_t$.

Если пространство фаз$F_t$компактна для каждого$t$, то никакие изменения топологии вообще не допускаются . Это связано с тем, что компактность позволяет записать глобальный гамильтонов поток на достаточно малом интервале$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$времени вокруг каждого фиксированного времени$t_0$. Другими словами, существует диффеоморфизм$\phi : F_\tau \to F_{\tau'}$если$\tau,\tau'\in (t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$. Поскольку диффеоморфизмы являются гомеоморфизмами, топология$F_\tau$и$F_{\tau'}$должны совпадать. Ясно, что этот аргумент, накапливая интервалы как$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$, подразумевает, что топология$F_\tau$и$F_{\tau'}$должны совпадать при каждом выборе$\tau,\tau' \in \mathbb R$.