Каким граничным условиям подчиняется стационарный начальный профиль температуры, эволюционирующий по уравнению теплового потока?

Question

Каким граничным условиям подчиняется стационарный начальный профиль температуры, эволюционирующий по уравнению теплового потока?

Физика
температура
устойчивое состояние
термодинамика
теплопроводность

ПОЖАР

Цилиндрический стержень длиной $L$ изолируется по своей криволинейной поверхности. Конец стержня на $x = 0$ находится в контакте с нагревательной баней при температуре $\Theta_0$ и конец стержня в $x = L$ находится в контакте с нагревательной баней при температуре $\Theta_L$ . Через некоторое время достигается стационарное состояние. Стационарное (не зависящее от времени) решение уравнения теплопроводности имеет вид
$Θ (Икс) "=" Θ_{0} + \frac{Θ_{л} - Θ_{0}}{л} Икс$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$ Уравнение теплопроводности, описывающее температурный профиль стержня, имеет вид $\frac{1}{Д} \frac{\partial Θ}{\partial т} "=" \frac{\partial^{2} Θ}{\partial {Икс}^{2}}$ $\frac{1}{D}\frac{\partial\Theta}{\partial t}=\frac{\partial^2 \Theta}{\partial x^2}$ Где $D$ является константой и $\Theta(x,t)$ это температура в положении $x$ и время.

Вовремя $t = 0$ , стержень отсоединен от термованны. Предположим, что нет тепла $Q$ впоследствии выходит или входит в стержень, запишите граничные/начальные условия:
$(а) в Икс "=" 0,$ $(a) \quad\text{at}\qquad x = 0,$ $(б) в Икс "=" л,$ $(b) \quad\text{at}\qquad x = L,$ $(с) в т "=" 0 для 0 \leq Икс \leq л$ $\qquad\qquad\qquad\qquad(c) \quad\text{at}\qquad t = 0 \quad \text{for}\qquad 0 \le x \le L$ (Подсказка: вспомните закон Фурье о тепловом потоке $\frac{1}{A}\frac{\partial Q}{\partial t}=−k\frac{\partial \Theta}{\partial x}$ , где $k$ проводимость.)

Ответ дан по частям $(a)$ , $(b)$ & $(c)$ (соответственно) являются

Граничное условие на $x = 0$ заключается в том, что тепло не поступает внутрь и не выходит из конца стержня. Это означает, что градиент температуры на $x = 0$ равен нулю:
$\frac{\partial Θ (Икс, т)}{\partial Икс} |_{Икс "=" 0} "=" 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0$

Граничное условие на $x = L$ заключается в том, что тепло не поступает внутрь и не выходит из конца стержня. Это означает, что градиент температуры на $x = L$ равен нулю:
$\frac{\partial Θ (Икс, т)}{\partial Икс} |_{Икс "=" л} "=" 0$ $\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0$

Начальное состояние при $t = 0$ для $0 \le x \le L$ заключается в том, что начальное распределение температуры является установившимся распределением температуры:
$Θ (Икс) "=" Θ_{0} + \frac{Θ_{л} - Θ_{0}}{л} Икс$ $\Theta(x)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x$

Я изо всех сил пытаюсь найти физическую интуицию для этих граничных/начальных условий. Прочитав комментарий под этим вопросом, я узнал , что устойчивое состояние в этом контексте означает, что из $\Theta_L$ тепловая ванна, так как она течет в $\Theta_0$ тепловая баня, и я признаю, что это определенно не то же самое, что тепловое равновесие.

Однако если градиент температуры на $t=0$ равен нулю в $x=0,L$ после отсоединения стержня как вообще может происходить передача тепла (даже для $t \gt 0$ )?

Иными словами, я знаю, что тепло не будет выходить ни с одного конца стержня (поскольку он изолирован), и не будет тепла поступать ни с одного конца стержня (поскольку тепловых ванн больше нет). Но должна быть передача тепла от $x=0$ и/или $x=L$ вдоль стержня (по направлению к центру стержней). Если бы это было не так, как бы изменился температурный профиль?

И он развивается как окончательный ответ для $\Theta(x,t)$ (рабочие опущены) есть

Θ (Икс, т) "=" \frac{Θ_{0} + Θ_{л}}{2} + \frac{2 (Θ_{л} - Θ_{0})}{π^{2}} \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{[(- 1)^{н} - 1]}{н^{2}} потому что (\frac{н π Икс}{л}) опыт (- \frac{н^{2} π^{2} Д}{л^{2}} т)

$\Theta(x,t)=\frac{\Theta_0+\Theta_L}{2}+ \frac{2 \left(\Theta_L-\Theta_0\right)}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left[(-1)^n-1\right]}{n^2}\cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)\exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 D}{L^2}t \right)$

Проще говоря, я физически не понимаю, почему при $t=0$

\frac{\partial Θ (Икс, т)}{\partial Икс} |_{Икс "=" 0 / л} "=" 0

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$ так как по моей логике должен быть поток тепла вдоль стержня (не наружу и не в стержень) даже при

t = 0

$t=0$ .

Ответы (2)

Каким граничным условиям подчиняется стационарный начальный профиль температуры, эволюционирующий по уравнению теплового потока?

Рагнар · Answer 1

Вы можете думать об этой проблеме в двух частях. Первая часть происходит, когда стержень соединен с тепловыми ваннами, т.е. $t < 0$ . В этой части граничные условия на стержне

\begin{matrix} Θ (Икс "=" 0, т < 0) "=" Θ_{0} \\ Θ (Икс "=" л, т < 0) "=" Θ_{л} . \end{matrix}

$\begin{gather} \Theta(x = 0,t < 0) = \Theta_0\\ \Theta(x = L,t < 0) = \Theta_L. \end{gather}$ В результате этих граничных условий температура в цилиндре будет изменяться в соответствии с уравнением теплопроводности до тех пор, пока температура в цилиндре не будет описываться выражением

Θ (Икс, т < 0) "=" Θ_{0} + \frac{Θ_{л} - Θ_{0}}{л} Икс

$\begin{equation} \Theta(x,t < 0)=\Theta_0+\frac{\Theta_L-\Theta_0}{L}x \end{equation}$

Вторая часть этой проблемы имеет место в $t = 0$ где концы стержня выведены из ванн и изолированы так, чтобы не было отвода тепла от концов. Граничные условия, как указано в вашем вопросе,

\begin{aligned} \frac{\partial Θ (Икс, т)}{\partial Икс} |_{Икс "=" 0} "=" 0 \\ \frac{\partial Θ (Икс, т)}{\partial Икс} |_{Икс "=" л} "=" 0. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0}= 0\\ \frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=L}= 0. \end{align}$ Стержень больше не находится в устойчивом состоянии, потому что граничные условия изменились.

Однако если градиент температуры на $t = 0$ равен нулю в $x = 0,L$ после отсоединения стержня как вообще может происходить передача тепла (даже для $t > 0$ )?

Эти граничные условия утверждают только отсутствие градиента температуры на концах стержней ( $x = 0$ и $x = L$ ), но не говорит, что тепло не может передаваться внутри стержня ( $0<x<L$ ). Как вы можете видеть из вашего начального состояния в $t = 0$ , температура в стержне неоднородна и при отсутствии каких-либо источников тепла тепло будет диффундировать до тех пор, пока не станет везде одинаковой температуры.

Спасибо за ваш ответ, я думаю, что мы к чему-то пришли, то, что я спрашиваю здесь, находится в точке $x=0$ в $t=0$ , ВС утверждает, что тепло не поступает (извне) и не выходит (изнутри стержня). Но почему нет теплопередачи ни в сторону, ни в точку $x=0$ в $t=0$ ? Это похоже на то, как если бы BC учитывает только передачу тепла внутрь или наружу стержня и игнорирует передачу тепла через него.
@BLAZE Граничные условия названы так, потому что они действительны только точно на границе. В БК не говорится, что внутри стержня нет температурного градиента, а только то, что тепло не уходит с концов стержня. В этом случае $\partial \Theta/\partial x \neq 0$ для $0<x<L$ (по крайней мере, до равновесия), и, следовательно, тепло движется к концам / от концов. Так что вы правы, BC только говорит вам, что происходит на границах, и нужно использовать уравнение теплопередачи, чтобы определить, что происходит между границами.

Герт · Answer 2

Проще говоря, я физически не понимаю, почему при $t=0$ :

$\frac{\partial\Theta(x,t)}{\partial x}\Bigg{\rvert}_{x=0/L}= 0$

так как по моей логике должен быть поток тепла вдоль стержня (не наружу и не в стержень) даже при $t=0$ .

По стержню действительно идет поток тепла $t>0$ , течет от горячего к холодному.

Но тепло не течет внутрь или наружу в $x=0$ или $x=L$ . А поскольку тепловой поток управляется градиентом температуры, в соотв. Фурье :

\dot{д} "=" - к \nabla Θ

$\dot{q}=-k\nabla \Theta$

Если $\dot{q}=0$ , и с $k\neq 0$ , то и по определению $\nabla \Theta=0$ , следовательно, граничные условия с нулевым градиентом температуры для $x=0,L$ .

Каким граничным условиям подчиняется стационарный начальный профиль температуры, эволюционирующий по уравнению теплового потока?

ПОЖАР

Ответы (2)

Рагнар

ПОЖАР

Рагнар

Герт

Вычисление времени, необходимого для достижения теплового равновесия

Температура в различных точках металлического стержня при теплопроводности

Что такое температура как функция времени в законе Фурье?

В чем разница между энергией и температурой в теории поля?

Почему 0K0K0 \,\mathrm{K} такой особенный?

С какой скоростью мокрая одежда снижает температуру тела человека?

Изменение энтропии термодинамической среды при изобарических или изохорных процессах

почему жидкий металл не испаряется в вакууме?

Объяснение замерзшей росы

Как ведут себя температура и давление в идеальных газах, с переменным количеством молей и постоянным объемом?