Каким образом уменьшается импульс частицы с массой из-за пространственного расширения?

И собственная, и сопутствующая скорости стремятся к нулю, но с разной скоростью. Чтобы увидеть, как это работает, нужно начать с метрики Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера :

$$[g_{\mu\nu}] = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -a^2(t) & 0 & 0\\ 0 & 0 & -a^2(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -a^2(t) \end{array}\right].$$ Эта метрика соответствует принципу наименьшего действия для классической массивной частицы: $$\begin{align} S &\propto \int \operatorname{d}\tau \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{\partial x^\mu}{\partial \tau} \frac{\partial x^\nu}{\partial \tau} } \\ &= \int \operatorname{d}t\, \left(-mc \sqrt{c^2 - a^2 \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} }\right). \end{align}$$ где $x^\mu$- сопутствующее (координатное) положение. Подынтегральная функция во второй строке есть лагранжиан ( $L$), поэтому канонический импульс определяется выражением: $$\begin{align} p_i & \equiv \frac{\partial L}{\partial x_j} \\ & = mc \frac{a^2 \frac{\operatorname{d} x_j}{\operatorname{d} t}}{\sqrt{c^2 - a^2 \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d}t} }}. \end{align}$$ Обращение этого отношения дает: $$\frac{\operatorname{d} x_j}{\operatorname{d} t} = c \frac{p_j}{a \sqrt{p_i p_i + (mc)^2 a^2}},$$ приводит к гамильтониану: $$\begin{align} H &\equiv p_i \frac{\operatorname{d} x_i}{\operatorname{d} t} - L \\ & = c \frac{p_j p_j}{a \sqrt{p_i p_i + (mc)^2 a^2}} + \frac{a m^2 c^3}{\sqrt{ p_i p_i + (mc)^2 a^2}} \\ & = c \sqrt{ \frac{p_i p_i}{a^2} + (mc)^2 }. \end{align}$$

Заметим, что в этом случае канонический импульс является величиной, сохраняющейся, поскольку лагранжиан инвариантен относительно сдвигов сопутствующей координаты. Таким образом, для релятивистских частиц сопутствующая скорость равна$\propto a^{-1}$для релятивистских частиц ($p \gg mc a$), и$a^{-2}$для нерелятивистских ($p \ll mca$). Да, даже свет имеет уменьшающуюся сопутствующую скорость в системе координат FLRW.

Чтобы перевести обратно в физическую/собственную скорость, вспомните, что$\vec{v}_p = a \frac{\operatorname{d} \vec{x}_{\mathrm{coord}}}{\operatorname{d} t}$, что означает, что для нерелятивистских частиц физическая скорость падает как$a^{-1}$, а для ультрарелятивистских частиц скорость определяется выражением$\approx c \hat{p} \left(1 - \left[\frac{mca}{p}\right]^2 + \ldots\right)$. Таким образом, физическая скорость света при$m=0$, фиксирована, а для массивных частиц падает.

Кроме того, если вы определяете физический импульс обычным для специальной теории относительности способом,

$$\vec{p}_p \equiv \frac{m \vec{v}_p}{ \sqrt{1 - \left(\frac{v_p}{c}\right)^2}},$$ тогда физический импульс оказывается связанным с каноническим координатным импульсом как: $$\vec{p}_p = \frac{\vec{p}}{a},$$ что является обратным соотношением между координатой и физической скоростью, но сохраняет падающий физический импульс, ожидаемый от падающей физической скорости.

Кроме того, обратите внимание, что угловой момент сохраняется, как и ожидалось из-за вращательной инвариантности лагранжиана. Обратите внимание, как:

$$\vec{L} = \vec{r}_p \times \vec{p}_p = \vec{x} \times \vec{p},$$ масштабные коэффициенты в физическом импульсе и положении сокращаются, давая такое же соотношение в координатном положении и каноническом координатном импульсе.

Вы можете прийти к тем же выводам из квантовой теории поля, если уделите пристальное внимание тому, где в лагранжиане находятся все масштабные коэффициенты. Например, начните с действия:

$$S = \int \sqrt{-g}\operatorname{d}^4 x \left[\frac{g^{\mu\nu}}{2} \partial_\mu\phi \partial_\nu \phi - m^2 \phi^2\right],$$ с метрической подписью $(+,-,-,-)$, и изучите дисперсионные соотношения для волн, в том числе то, как эволюционирует физическое и координатное волновое число, и т. д. Вы обнаружите, что это согласуется с классической массивной картиной выше, как и должно быть по принципу соответствия.

Я согласен с вашим выводом. Пример поможет понять это.

Винтовка, закрепленная на земле и направленная на вас, стреляет. Пуля массой m летит к вам со скоростью v с импульсом p = mv. В этом случае ясно, что v относится к вам, потому что вы и винтовка неподвижны.

В следующем сценарии винтовка движется назад с полной скоростью пули из предыдущего случая (v), поэтому скорость пули теперь равна 0, поэтому импульс пули по отношению к вам также равен 0.

Отсюда ясно, что импульс p обратно пропорционален скорости, с которой винтовка «отступает» от пули и вас.

В вашем конкретном случае «винтовка» — это вселенная, и импульс любой частицы будет обратно пропорционален масштабному коэффициенту, потому что скорость частицы обратно пропорциональна масштабному коэффициенту относительно вселенной.