Какое преобразование дает представление типа Вейля путем перестановки γ0γ0\gamma^0 и γ5γ5\gamma^5?

Обычное представление Вейля матриц Дирака определяется следующим образом:

$$\tag{1}\gamma_W^a = T_W \, \gamma^a \, T_W^{-1},$$ где $$\begin{align}\tag{2} T_W &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \gamma^5 \, \gamma^0), & T_W^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - \gamma^5 \, \gamma^0) \equiv T_W^{\dagger}. \end{align}$$ Затем мы получаем своего рода вращение в пространстве матриц Дирака (обратите внимание на знак в$\gamma_W^5$): $$\begin{align}\tag{3} \gamma_W^0 &= \gamma^5, &\gamma_W^i &= \gamma^i, &\gamma_W^5 &= -\, \gamma^0. \end{align}$$ Это представление Вейля матриц Дирака.

Теперь мне интересно , есть ли подобное преобразование, которое выполняло бы переворачивание$\gamma^0$и$\gamma^5$, вместо поворота в$(\gamma^0, \, \gamma^5)$"самолет". ищу матрицу$V$(вероятно, унитарное) такое, что

$$\begin{align} \gamma_V^0 &= V \, \gamma^0 \, V^{-1} = \gamma^5, \tag{4} \\[1ex] \gamma_V^i &= V \, \gamma^i \, V^{-1} = \gamma^i, \tag{5} \\[1ex] \gamma_V^5 &= V \, \gamma^5 \, V^{-1} = \gamma^0. \tag{6} \end{align}$$ Возможно ли такое преобразование, используя некоторую унитарную матрицу$V$? Как мы можем найти это явно?

Преобразования (4) и (6) влекут, что оба$\gamma^0$и$\gamma^5$коммутировать с матрицей$V^2 \equiv V \, V$:

$$\begin{align}\tag{7} V^2 \, \gamma^0 &= \gamma^0 \, V^2, & V^2 \, \gamma^5 &= \gamma^5 \, V^2. \end{align}$$ Моя интуиция подсказывает мне, что единой матрицы не существует.$V$удовлетворяющие (4)-(6), но я, вероятно, ошибаюсь. Вход (3) меня бесит!