Давайте обобщим четыре пространственно-временных измерения на$d$-мерная алгебра Клиффорда $C$. Определять

$$p~:=~[\frac{d}{2}], \tag{1}$$

куда$[\cdot]$обозначает целую часть . Тогда вопрос ОП становится

Почему размер должен$n$конечномерного представления$V$быть кратным$2^p$?

Доказательство:

1. Если$C\subseteq {\rm End}(V)$а также$V$оба реальны, мы можем их усложнить, так что теперь мы можем предположить, что они оба сложны. Затем подпись о.$C$не имеет значения, и, следовательно, мы могли бы также предположить положительную подпись. Другими словами, мы предполагаем, что нам дано$n\times n$матрицы$\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{d}$, которые удовлетворяют

   $$\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\}_+~=~2\delta_{\mu\nu}{\bf 1}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}.\tag{2}$$

2. Мы можем определить

   $$\gamma_{\mu\nu}~:=~ \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_- ~=~-\gamma_{\nu\mu}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}. \tag{3}$$ В частности, определить$p$элементы $$H_1, \ldots, H_p,\tag{4}$$ в качестве $$H_r ~:=~i\gamma_{r,p+r}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{5}$$

3. Обратите внимание, что элементы$H_1,\ldots, H_p$, (а также$\gamma_d$если$d$нечетно) представляют собой набор взаимно коммутирующих инволюций

   $$[H_r,H_s]_- ~=~0, \qquad r,s~\in~\{1,\ldots, p\},\tag{6}$$ $$H_r^2 ~=~{\bf 1}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{7}$$

4. Следовательно, по теореме Ли тогда$H_1,\ldots, H_p$, (а также$\gamma_d$если$d$нечетно), должен иметь общий собственный вектор$v$.

5. С$H_1,\ldots, H_p$являются инволюциями, их собственные значения равны$\pm 1$. Другими словами,

   $$H_1 v~=~(-1)^{j_1} v, \quad \ldots, \quad H_p v~=~(-1)^{j_p} v,\tag{8}$$ куда $$j_1,\ldots, j_p~\in ~\{0,1\} \tag{9}$$ равны нулю или единице.

6. Подать заявку$p$первые гамма-матрицы

   $$\gamma^{1}, \gamma^{2}, \ldots, \gamma^{p}, \tag{10}$$ к общему собственному вектору$v$, чтобы $$v_{(k_1,\ldots, k_p)}~:=~ \gamma_{1}^{k_1}\gamma_{2}^{k_2}\cdots\gamma_{p}^{k_p} v, \tag{11}$$ где индексы $$k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \tag{12}$$ равны нулю или единице.

7. Далее обратите внимание, что

   $$[H_r,\gamma_s]_-~=~0 \quad \text{if}\quad r~\neq~ s \mod p \tag{13}$$ а также $$\{H_r,\gamma_r\}_+~=~0. \tag{14}$$ Несложно проверить, что$2^p$векторы$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$также являются общими собственными векторами для$H_1,\ldots, H_p$. В деталях, $$H_r v_{(k_1,\ldots, k_p)}~=~(-1)^{k_r+j_r}v_{(k_1,\ldots, k_p)}.\tag{15}$$

8. Обратите внимание, что каждый собственный вектор$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$имеет уникальный образец собственных значений для кортежа$(H_1,\ldots, H_p)$, Итак$2^p$векторы$v_{(k_1,\ldots, k_p)}$должны быть линейно независимыми.

9. С

   $$\gamma_{p+r}~=~ i H_r \gamma_r, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}, \tag{16}$$ Мы видим, что $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \left\{ v_{(k_1,\ldots, k_p)} \mid k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \right\} \tag{17}$$ является инвариантным подпространством$W\subseteq V$за$C$.

10. Это показывает, что любое неприводимое комплексное представление комплекса$d$-мерная алгебра Клиффорда$2^p$-размерный.

11. Наконец, мы считаем (но не проверяли), что конечномерное представление$V$комплексной алгебры Клиффорда всегда вполне приводима, т. е. является конечной суммой неприводимых представлений, и, следовательно, размерность$n$из$V$должно быть кратно$2^p$.$\Box$

Интуитивное объяснение

Предварительно: вектор имеет множество компонентов как элементов базиса векторного пространства.

Базис алгебры Клиффорда порождается всеми (независимыми) произведениями образующих (в случае уравнения Дирака это$\gamma$х).

Подсчет

Есть столько же$\gamma$как измерение пространства-времени, и согласно определению алгебра включает в себя единицу,

$$\bigl\{\gamma^a,\gamma^b\bigr\} = 2 \eta^{ab}\mathbf{1}.$$

Для любого дополнительного элемента новый базис состоит из предыдущих базовых элементов плюс произведение каждого из них на дополнительный элемент. Это новая основа имеет в два раза больше элементов. Следовательно,

$$\dim(\mathcal{C}\ell(n)) = 2^{n}.$$

Для представления этой алгебры нужны «матрицы»$2^{n/2}\times 2^{n/2}$, что неплохо для четного пространства-времени.

Сказал, что проблема (которую я не собираюсь демонстрировать) связана с нечетномерным пространством-временем... однако, опять же, интуитивно эта алгебра может быть представлена ​​двумя копиями алгебры коразмерности на одну, то есть на одно измерение меньше. По этой причине минимальная размерность представления$\gamma$это

$$\dim(\gamma) = 2^{\lfloor n/2\rfloor}\times 2^{\lfloor n/2 \rfloor}.$$

---

Если вам интересно, можно ли найти большее представление$\gamma$, ответ ДА, но в итоге вы получите либо не фундаментальное , либо тривиальное расширение.

Это хороший вопрос. Чтобы ответить на этот вопрос, давайте начнем с алгебры Клиффорда, созданной$\gamma$матрицы.

$$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ с$\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$с метрической подписью$\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$. С использованием$I$а также$\gamma_{\mu}$мы можем построить набор матриц следующим образом $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N}. \end{equation}$$

Есть

$$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ такие матрицы. Давайте назовем их$\Gamma_{A}$, куда$A$работает от$0$к$2^{N}-1$. Теперь пусть$\gamma_{\mu}$находятся$d\times d$размерные неприводимые матрицы. Наша цель – найти связь между$d$а также$N$. Для этого определим матрицу $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Где$Y$какой-то произвольный$d\times d$матрица. Отсюда следует, что $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Где мы использовали$\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$, с$\epsilon_{AB}^{2}=1$

Следовательно

$$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ С$S$коммутирует со всеми матрицами набора, по лемме Шура заключаем, что$S$должно быть пропорционально единичной матрице, чтобы мы могли написать $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$

Взяв трассировку, мы получаем

$$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ или же $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$

Принимая$(j; m)$матричный элемент обеих частей последнего уравнения дает

$$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}((\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ куда$j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$и мы использовали тот факт, что Y является произвольным$d \times d$матрица. Если мы установим$j = k; l = m$и суммировать по этим двум индексам, что дает $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Следует рассмотреть два случая, а именно$N$даже и$N$странный. За$N = 2M$(даже),$\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$за исключением$\Gamma_{0} = 1$для которого$\text{Tr} \Gamma_{0} = d$. Который дает $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Это главный результат. Для четырехмерного пространства Минковского-времени$N=4$следовательно, размерность неприводимого представления равна$d = 2^{4/2} =4$.

Строгое доказательство размерности$\gamma$матрицы исходят из теории представления групп. Речь идет о поиске неприводимого представления алгебры Клиффорда. В недавней книге Ашока Даса по теории групп это обсуждалось очень подробно. Еще одна глава этой книги посвящена нахождению представления алгебры Клиффорда как в четном, так и в нечетном направлении. См. стр. 162 для прроф.

Красивое и милое доказательство дал Питер Уэст в

http://arxiv.org/abs/hep-th/9811101 .

---