Зарядовое сопряжение в произвольном базисе

Давайте вместо этого воспользуемся майорановским базисом для гамма-матриц, который я буду обозначать тильдой. Главное в этом базисе то, что все гамма-матрицы мнимые, поэтому уравнение Дирака$(i\tilde{\gamma}^{\mu}\partial_\mu-m)\tilde{\psi}=0$действительна, а решения можно разбить на чисто действительную и мнимую части. Так что если$\tilde{\psi}$удовлетворяет уравнению$\tilde{\psi}_c\equiv\tilde{\psi}^{*}$. Вот как выглядит зарядовое сопряжение в этом базисе.

В другом базисе гамма-матриц, скажем киральном базисе, нам нужно сделать унитарное преобразование$\psi=U\tilde{\psi}$. Затем

$$\psi_c=U\tilde{\psi}^*=U(U^\dagger \psi)^*=UU^T \psi^*\equiv\gamma^0C\psi^*,$$ где в последней строке мы определили матрицу $C$ $$\gamma^0C\equiv UU^T.$$ Итак, выше приведена формула зарядового сопряжения в произвольном базисе, где $C$определяется в терминах унитарного преобразования из майорановского базиса.

Причина, по которой мы включаем фактор$\gamma^0$это так$C$удовлетворяет второму упомянутому вами тождеству. Это следует из$\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0=\gamma^{\mu\dagger}$которое сохраняется унитарными преобразованиями.

Отсюда мы можем доказать обобщение перечисленных вами тождеств

$$C\gamma_\mu C^{-1}=-\gamma_\mu^T$$ $$-CC^*=1$$

Что не обязательно является общим, так это$C=C^{-1}$. Я представил здесь тот же аргумент, что и в статье arXiv:1006.1718, так что вы можете взглянуть на это.