Представления алгебры Дирака, эрмитово сопряженное и следы

Строго говоря, это математический вопрос, но поскольку алгебра Дирака гораздо важнее в физике, чем в математике, я подумал, что у меня будет больше шансов получить ответ здесь.

Алгебра Дирака может быть определена как алгебра Клиффорда , связанная с метрикой Минковского. В текстах по физике не всегда понятно, реальная или комплексная алгебра Клиффорда имеется в виду, я бы сказал, что морально она реальная, а строго говоря комплексная. Последняя изоморфна алгебре$4\times 4$сложные матрицы, но не каноническим образом. По теореме Скулема — Нётер (а возможно, и каким-то более элементарным образом) мы видим, что все такие изоморфизмы сопряжены, и даже что все комплексные представления вещественной алгебры Дирака (которая является простой) сопряжены.

Теперь в текстах по физике алгебра Дирака часто определяется как алгебра$4\times 4$матрицы, но с представлением$\Bbb R^{1,3}$содержащиеся в нем, в виде четырех (неуказанных) матриц$\gamma^\mu$.

В этом контексте очевидны определения следа и эрмитова сопряжения, а именно как следа и эрмитова сопряжения матрицы. Из сделанного выше замечания и того факта, что след инвариантен относительно сопряжения, мы видим, что след корректно определен на уровне абстрактной алгебры. С эрмитовым сопряжением не так ясно (не знаю, верно ли).

Это неудовлетворительно по нескольким причинам:

• Мы действительно хотим работать с разными представлениями, поэтому было бы хорошо, если бы мы могли определить трассировку таким образом, который не зависит от конкретного представления, или, может быть, какое-то каноническое представление, такое как обычное представление, или (что еще лучше), если есть какое-то представление. каноническое 4-мерное пространство, на котором оно действует.
• Это не работает так хорошо для других пространств$\Bbb R^{1,d}$.
• Такие вещи, как идентификаторы следов, запутаны и трудны для запоминания.

Мои вопросы:

• Это хорошо работает только в$\Bbb R^{1,3}$?
• Как правильнее или полезнее рассматривать алгебру Дирака как вещественную или как комплексную алгебру Клиффорда?
• Существует ли каноническое или независимое от представления определение следа? В идеале тот, который работает для всех алгебр Клиффорда.
• Существует ли каноническое определение эрмитова сопряженного или, может быть, эрмитова скалярного произведения?
• Можно ли уравнение Дирака или спинорное поле Дирака удобно интерпретировать в терминах абстрактной алгебры Дирака без какой-либо явной ссылки на ее четырехмерное представление?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Нетрудно показать, что алгебра Дирака имеет единственную антиинволюцию, которую я буду обозначать$\ast$что удовлетворяет$\gamma^{\mu\ast} = g^\mu_{\ \ \nu}\gamma^\nu$. Если мы назовем это эрмитовым сопряженным, это будет означать, что$\gamma^0$является эрмитовым, и$\gamma^i$является антиэрмитовским. Затем мы могли бы потребовать, чтобы в матричном представлении они отображались в эрмитову и антиэрмитову матрицы. Однако это не происходит автоматически: из алгебраической структуры не следует, что это должно быть так, и это следует рассматривать как дополнительное требование к представлению алгебры Дирака.

Чтобы быть явным, можно было бы рассмотреть реальную алгебру Клиффорда или$\Bbb R^{1,1}$. Это можно изоморфно отобразить на$\mathcal M_2(\Bbb R)$таким образом, что$\gamma^0$симметричен и$\gamma^1$является антисимметричным. Его также можно отобразить на подалгебру$\mathcal M_2(\Bbb C)$таким образом, что$\gamma^0$является эрмитовым, и$\gamma^1$является антиэрмитовским.