Что значит \mu_{\phantom{\mu}\nu}\gamma^\nu означает?

Обычно, когда мы видим объект с греческим индексом, например$\gamma^\mu$, мы предполагаем, что объект содержит компоненты вектора и что способ его поворота включает в себя сумму по индексу$\mu$. С$\{\gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3\}$являются матрицами, мы можем преобразовать их, умножая на матрицы слева и справа. Они выбираются таким образом, чтобы умножение матриц на матрицу определенного вида слева и обратную ей справа совпадало с преобразованием вида$\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} \gamma^\nu$, как если бы$\gamma^\mu$были компонентами вектора. (Это не так; они больше похожи на путеводители, рассказывающие о производных операторах в$\sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu$какие компоненты поля справа на самом деле указывают направление, в котором$x^\mu$увеличивается.)

Одновременное вращение означает преобразование с использованием суммирования по греческому индексу и умножения на матрицы одновременно:

$\sum_\nu \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu}(\Lambda_{\tfrac12}\gamma^\nu \Lambda_{\tfrac12}^{-1}) = \gamma^\mu$

Это эквивалентно вращению/усилению в одном направлении, а затем обратному.

$γ$является инъективным отображением из$\mathbb R^{1,3}$в алгебру Клиффорда$\mathbb R^{1,3}$, который переводит каждый вектор в себя. Поскольку это линейная карта, вы можете думать о ней как о тензоре ранга 2. При соответствующей интерпретации это тождественный тензор, поэтому эквивалентное преобразование с обеих сторон оставляет его неизменным. Это, по сути, то, что говорит это уравнение, хотя и сбивающим с толку образом.

Алгебра Клиффорда$\mathbb R^{1,3}$— симпатичный математический объект, заново изобретенный Дираком в довольно уродливой форме. Абстрактно, алгебра Клиффорда — это свободная некоммутативная алгебра векторов из некоторого нормированного векторного пространства по модулю сложения S + S и V + V, умножения SS и SV и квадрата нормы V ^{2 .} Из этого вы можете вывести все другие свойства, включая существование матричных представлений, таких как у Дирака.

Его можно понимать как алгебру отражений, в которой вектор представляет собой отражение через нормальную к себе гиперплоскость, а произведения векторов представляют собой композиции отражений. Любое вращение на плоскости можно записать как композицию двух отражений. Если вы повернете одно из зеркал на 180°, оно будет отражаться в том же направлении, что и раньше, но его нормаль указывает в противоположном направлении, поэтому соответствующий поворот (на 360°) увеличивает коэффициент$-1$в алгебре Клиффорда. Это геометрическая причина двойного покрытия.

Из интерпретации как алгебры отражений, если вы примете ее как правильную, вы можете вывести, что отражения действуют на векторы путем сопряжения, а следовательно, и произведения отражений, включая все повороты.

$Λ_\frac12$является представлением произвольного вращения в$\mathbb R^{1,3}$как произведение двух или четырех векторов. Если вы думаете о$γ^μ$как vierbein, то спряжение$Λ_\frac12$поворачивает каждый из своих векторов независимо. На другой стороне,${Λ^μ}_νγ^ν$лечит$γ$как ортонормированный базис для$\mathbb R^{1,3}$(хотя на самом деле он состоит из алгебраических векторов Клиффорда, а не из 4-векторов) и преобразует их, смешивая их. Результат одинаков в любом случае.

Это всего лишь пример важного свойства тензорных операторов группы Ли GL(N). Это означает, что тензорный оператор$\gamma^{\mu}$преобразуется как 4-вектор при сопряжении.

Пожалуйста, посмотрите мой ответ на вопрос « Формируют ли матрицы Дирака правильный четырехвектор? », Который, возможно, был бы лучше размещен здесь.