Каков физический смысл связи Леви-Чивиты?

Две причины, о которых я могу думать на самом деле.

Во-первых , это соединение, которое требует наименьшего количества дополнительных данных. Он полностью определяется метрикой, поэтому для его уточнения не нужны никакие дополнительные геометрические данные.

Однако это не означает, что мы абсолютно не можем использовать какие-либо дополнительные соединения, но учтите тот факт, что, поскольку разность двух соединений является тензорным полем, мы всегда можем выбрать одно соединение в качестве назначенного соединения и представить любое другое соединение, которое может понадобиться. как тензорные поля. Так почему бы не выбрать соединение, требующее наименьшего количества неизвестных переменных, в качестве назначенного соединения?

Во- вторых , когда мы строим риманово (хорошо, псевдориманово, но я хотел бы проигнорировать разницу) многообразие, моделирующее пространство-время, мы хотим быть как можно ближе к евклидовой геометрии (ну, геометрия Минковского , на самом деле), но все же допускайте кривизну.

Теперь, если вы возьмете векторное пространство (имеется в виду, что это «плоское пространство»), оно естественным образом допускает дифференцирование векторных полей, поэтому на нем есть естественная связь, которая также оказывается без кручения. Если вы поместите любое (алгебраическое) скалярное произведение в векторное пространство, которое мы можем рассматривать как метрический тензор, эта естественная связь автоматически станет метрически совместимой с ним. Таким образом, естественная связь на плоском евклидовом пространстве — это связь Леви-Чивиты его внутреннего продукта естественным образом .

Кроме того, если мы возьмем вложенную гиперповерхность в$n$-мерное евклидово пространство, мы можем получить относительно естественную (хотя и выбранную) связность на гиперповерхности по следующему алгоритму:

1) Возьмем векторное поле, касательное к гиперповерхности.

2) Произвольно продолжить его в окрестность гиперповерхности.

3) Продифференцировать это расширение по направлению векторного поля, полностью касающегося гиперповерхности (очевидно, используя связность в объемлющем пространстве).

4) Результирующее векторное поле не будет зависеть от расширения, но не будет касаться гиперповерхности, поэтому вычтите его нормальную часть, чтобы получить векторное поле, действительно касающееся гиперповерхности.

Дифференциальный оператор, реализующий этот алгоритм, представляет собой естественную индуцированную связность на гиперповерхности. Это также оказывается связностью Леви-Чивиты, связанной с индуцированной метрикой на гиперповерхности.

Эти два примера показывают, что связь Леви-Чивиты естественным образом появляется в евклидовой геометрии, включая гиперповерхности евклидовых пространств, поэтому, если мы хотим сконструировать пространство-время как нечто, в основном подобное евклидову пространству, за исключением искривления, нет особых причин пытаться построить более чуждые геометрии, чем те неевклидовы геометрии, которые естественным образом появляются как подмногообразия евклидовых пространств.

Редактировать : например, основываясь на том, что сказал 0celo7, из евклидова пространства мы знаем, что прямая линия между двумя точками имеет экстремальную длину.

В римановой геометрии у нас есть два разных понятия геодезических. Одна — максимально прямая кривая (касательный вектор к ней параллелен самой себе), а другая — кривая экстремальной длины/собственного времени.

Первое понятие зависит от связи, второе от метрики. Эти два будут совпадать тогда и только тогда, когда соединение связано с соединением Леви-Чивиты.

А поскольку в евклидовом пространстве они совпадают, мы ХОТИМ построить ОТО таким образом, чтобы и там эти два понятия совпадали.

Edit2: я немного подумал об этом, и я хотел бы немного прояснить свой второй момент.

То, что мы имеем здесь, — это в основном два разных, но связанных понятия. Параллелизм и метричность. Связь$\nabla$дает нам параллелизм, а метрика$g$дает нам метрику.

Нетрудно убедиться, что параллелизм не имеет прямого отношения к метричности. Возьмем, к примеру, произвольное векторное пространство$V$над произвольным полем$\mathbb{F}$. Мы говорим, что два вектора,$x$и$y$параллельны, если существует такое$\alpha\in\mathbb{F}$скаляр, что$\alpha x=y$. Мы не наложили на это пространство никакой нормы или скалярного произведения, поэтому мы не можем измерять углы или расстояния. Но параллелизм имеет смысл. Вот почему рассматриваемое векторное пространство естественным образом допускает дифференцирование, если оно также имеет правильную топологию, для дифференцирования необходим параллелизм, а векторное пространство, естественно, имеет его.

Однако очевидно, что параллелизм можно понять с точки зрения углов, поэтому, если у вас есть метрика, позволяющая измерять углы, у вас также есть параллелизм. Математическое утверждение для этого как раз и есть существование связи Леви-Чивиты — связи, полностью определяемой метрикой.

Очевидно, что можно, математически говоря, отделить понятие параллелизма от понятия метричности, введя совершенно произвольную связь, но это приведет к совершенно чужим геометриям, совершенно не соответствующим тому, что мы видим в окружающем нас реальном мире.

Мы также можем не сразу увидеть неевклидовость, но то, что мы допускаем криволинейные геометрии, не означает, что мы должны отбросить все другие ранее установленные геометрические свойства пространства-времени (а именно, что параллелизм определяется метричностью), потому что мы сделали одну модификацию .

Я думаю, что полезно изучить старые книги по дифференциальной геометрии, такие как Крейзиг, чтобы увидеть развитие Леви-Чивиты, в отличие от современного формализма, поскольку вы явно показываете, что простые производные тензоров не преобразуются в тензоры, поэтому вам нужна ковариантная производная . Это важная часть определения ковариантной производной (связи). Мне не нравится формулировка математика, которая сейчас популяризируется. Он предоставляет ярлыки, но я думаю, что они скрывают мотивацию и цель геометрии.

Но чтобы ответить на ваш вопрос, нужен решающий факт, что скалярные произведения векторов должны сохраняться при перемещении их в пространстве, т.е. производная скалярного произведения обращается в нуль. Бесконечно мало, метрический тензор является внутренним произведением векторов, которые определяют пространство, в котором вы работаете, поэтому, естественно, вы хотите, чтобы ковариантная производная метрического тензора обращалась в нуль. Это определяет свойство параллельного транспорта. Затем это свойство даст вам связь Levi-Civita. По существу, физический смысл связи Леви-Чивиты состоит в том, что она дает возможность дифференцировать тензоры в соответствии с естественной геометрией искривленного пространства, определяемой параллельным переносом. Эти обстоятельства эквивалентны вашим геодезическим, но обращение метрики в нуль ковариантной производной — это локальная версия,

Соединение на коллекторе используется для распространения кадров ; точнее, мы можем параллельно транспортировать фрейм по пути, соединяющему две точки, скажем$p,q$.

Это дает карту между всеми кадрами в точке p и всеми кадрами в точке q ; и оказывается, что эта карта линейна.

Но достаточно ли линейности?

Хорошо вспомните здесь первый закон Ньютона - тело находится в равномерном прямолинейном движении, когда на него не действуют никакие силы; в ОТО мы обобщаем прямые (в евклидовом или плоском пространстве) до геодезических в (искривленном пространстве).

Таким образом, первый закон в ОТО обобщается следующим образом: параллельный перенос вдоль геодезической должен означать, что физически ничего не меняется — это обобщает движение по инерции — и таков принцип эквивалентности.

Но на самом деле это не «искривленное пространство», а искривленное пространство-время.

Физически это означает отсутствие локальных искажений длины или времени; поэтому нам нужна метрика$g$должны быть сохранены - т.е. мы требуем изометрии; и оказывается, что приведенная выше карта является изометрией, когда соединение является соединением Леви-Чевита.