Каков правильный метод получения уравнений движения из этого более высокого спинового действия?

Результаты, которые я пытаюсь получить, можно найти в этой статье, приложение B. В классе я когда-либо имел дело только с действиями, которые включают одно скалярное поле, поэтому работа с действиями этой формы мне совершенно незнакома. Для некоторого контекста мы находимся в квартире$(2+1)$пространство Минковского и имеют следующий набор вполне симметричных бозонных полей$\varphi^i=\{h_{\alpha(2s)},h_{\alpha(2s-4)}\}$где$s>1\in\mathbb{Z}$есть спин безмассового поля. Обозначение$h_{\alpha(2s)}\equiv h_{\alpha_1\cdots\alpha_{2s}}=h_{({\alpha_1\cdots\alpha_{2s}})}$является сокращением для полностью симметричного поля с$2s$спинорные индексы (т.е.$\alpha=1,2$).

Я пытаюсь вывести уравнения движения (EoM) как для целых, так и для полуцелых спиновых случаев. Удивительно, но я могу вывести все 5 уравнений, однако, чтобы получить их, я выдумываю метод. Выдумка работает стабильно, но я не знаю, почему. Я почти наверняка делаю это очень неправильным способом, поэтому я хотел бы, чтобы кто-нибудь указал правильный метод. Я только покажу, как я получаю один из EoM (уравнение B.4a случая целочисленного спина в статье), остальные работают очень похожим образом. Соответствующее действие

$$\begin{align}\mathcal{S}_s[\varphi^i]=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^s\int\text{d}^3x\bigg\{h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}-\frac{1}{2}s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2-(s-1)(2s-3)\bigg[\\ h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}+4\frac{s-1}{s}h^{\alpha(2s-4)}\square h_{\alpha(2s-4)}+\frac{1}{2}(s-2)(2s-5)(\partial^{\beta(2)}h_{\alpha(2s-6)\beta(2)})^2\bigg]\bigg\}.\end{align} \tag{B.3}$$

Здесь$\square=\partial^a\partial_a=-\frac{1}{2}\partial^{\beta(2)}\partial_{\beta(2)}$и обозначение следующего вида означает$(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2= (\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\partial_{\gamma(2)}h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})$. Мне кажется, что можно получить два заданных EoM, варьируя каждое поле.$\varphi^i$независимо. Таким образом, я получу EoM, который соответствует вариации в$\varphi^1$, в этом случае, к счастью, 4-й и 5-й члены подынтегральной функции не дают вклада. Поэтому мне нужно рассмотреть только первые три термина, я сделаю каждый термин отдельно и обозначу их.$I_i=I_1,I_2,I_3$для удобства ссылок. Первая выдумка приходит в самом начале;

$$\delta\big[I_1\big]=\delta\big[h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}\big]=\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+h^{\alpha(2s)}\square \delta h_{\alpha(2s)}=2\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}.$$ Я не знаю, почему (/если) последнее равенство должно выполняться, но выполнение одной и той же выдумки работает для всех 5 EoM. Теперь на следующий срок; $$\delta\big[I_2\big]=\delta\big[-\frac{1}{2}s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})^2\big]=-s(\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\partial_{\gamma(2)}\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})$$ А вот и следующая (и последняя) выдумка, я думаю, что идея правильная, но я совсем не выполняю ее строго. Идея состоит в том, чтобы интегрировать по частям и убрать вариацию на границе; $$\begin{align}\int\text{d}^3x\delta[I_2]&=-s\underbrace{\big[\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0, \text{variation vanishes at boundaries}}+s\int\text{d}^3x(\partial_{\gamma(2)}\partial^{\beta(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)})(\delta h^{\gamma(2)\alpha(2s-2)})\\ &=s\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}. \end{align}$$ Во второй строке я только что соответствующим образом переименовал и переставил индексы. Для меня термин, оцениваемый на границах, на самом деле не имеет смысла, поскольку пока это единственное место, где есть бесплатные индексы, но я не мог обойти это. Я читал, что в таких ситуациях можно использовать теорему Стокса/Гаусса и предположить, что поля исчезают на границе, или что-то в этом роде. Третий термин включает оба поля $\varphi^1$и $\varphi^2$, но я думаю, что имею право только варьировать $\varphi^1$поле; $$\begin{align}\delta\big[I_3\big]&=\delta\big[-(s-1)(2s-3)h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]\\ &=-(s-1)(2s-3) h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}. \end{align}$$
Теперь я дважды интегрирую по частям и предполагаю, что обращаются в нуль не только вариации на границе, но и производная от вариаций на границе (очередная выдумка?); $$\begin{align} \int\text{d}^3x\delta I_3 &=-(s-1)(2s-3)\int\text{d}^3x h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\\ &=-(s-1)(2s-3)\bigg\{\underbrace{\big[h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0}-\int\text{d}^3x\partial^{\beta(2)}h^{\alpha(2s-4)}\partial^{\gamma(2)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\bigg\}\\ &=(s-1)(2s-3)\bigg\{\underbrace{\big[\partial^{\beta(2)}h^{\alpha(2s-4)}\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\big]^{x_f}_{x_i}}_{=~0}-\int\text{d}^3x\delta h_{\beta(2)\gamma(2)\alpha(2s-4)}\partial^{\beta(2)}\partial^{\gamma(2)}h^{\alpha(2s-4)}\bigg\}\\ &=-(s-1)(2s-3)\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}. \end{align}$$ Объединение всех трех терминов дает $$\delta\mathcal{S}_s[\varphi^1]=\int\text{d}^3x\delta h^{\alpha(2s)}\bigg\{2\square h_{\alpha(2s)}+s\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}-(s-1)(2s-3)\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}\bigg\}.$$ Установка вариации действия равной нулю дает требуемый EoM: $$\square h_{\alpha(2s)}+\frac{1}{2}s\partial^{\beta(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\beta(2)\alpha(2s-2)}-\frac{1}{2}(s-1)(2s-3)\partial_{\alpha(2)}\partial_{\alpha(2)}h_{\alpha(2s-4)}=0.$$ Я чувствую, что подход, который я использую, находится в правильном направлении, поскольку он дает мне правильный EoM не только в этом случае, но и в других 4, однако я думаю, что он очень плохо выполнен и неряшлив. Извиняюсь за длину поста, но я хотел показать вам, как я подхожу к проблеме, чтобы было легче понять, где я ошибаюсь.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Теперь я понимаю, почему первая «выдумка» верна... при интегрировании по частям я теперь не буду писать граничные члены, так как мы можем предположить, что поля исчезают на бесконечности. Тогда первая выдумка верна благодаря следующему;

$$\begin{align}\int\text{d}^3x \delta [h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}] &=\int\text{d}^3x \bigg\{\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+ h^{\alpha(2s)}\square \delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &= \int\text{d}^3x \bigg\{\delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}- (\partial^ah^{\alpha(2s)})(\partial_a \delta h_{\alpha(2s)})\bigg\} \\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{ \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+(\partial^a\partial_ah^{\alpha(2s)})\delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{ \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}+(\square h^{\alpha(2s)})\delta h_{\alpha(2s)}\bigg\}\\ &=\int\text{d}^3x \bigg\{2 \delta h^{\alpha(2s)}\square h_{\alpha(2s)}\bigg\}\end{align}$$ где я дважды интегрировал по частям, а латинские индексы — это индексы Лоренца.

Оставшиеся вопросы по награде:

Я все еще не уверен, как написать граничные условия при интегрировании по частям, не имея свободных индексов там, где их быть не должно. Кроме того, я не уверен, что причина нашей способности убивать граничные члены заключается в том, что изменение полей исчезает на бесконечности или само поле исчезает на бесконечности... я думаю, что это последнее, поскольку теперь это лагранжиан плотности, а интеграл берется по всем пространственно-временным индексам из$-\infty$к$\infty$.