Различные определения функциональной производной

Изучая КТП и общую теорию относительности, я столкнулся с двумя разными определениями функциональной производной, и я хотел бы знать, эквивалентны ли они.

  1. Во-первых, в книге Вальда « Общая теория относительности» , а также в других справочниках по ОТО (Baez) изменение действия дается в терминах «однопараметрического семейства конфигураций полей». ψ ϵ " и это семейство можно определить как ψ ϵ "=" ψ 0 + ϵ ф , где ф является произвольным полем. Затем вводятся следующие определения:
    г ψ ϵ / г ϵ | ϵ "=" 0 "=" дельта ψ                       дельта С "=" г г ϵ С [ ψ + ϵ ф ] | ϵ "=" 0
    где С [ ψ ] представляет собой интересующий функционал. Наконец, функциональная производная дельта С / дельта ψ ( Икс ) определяется следующим образом:

дельта С "=" ∫ г 4 Икс дельта С дельта ψ ( Икс ) ф ( Икс ) "=" г г ϵ С [ ψ + ϵ ф ] | ϵ "=" 0

  1. Когда я обращаюсь к КТП, такой как квантование поля Грейнера , определение практически такое же, но произвольное поле ф теперь указывается как дельта 4 ( Икс − Икс ′ ) . Я понимаю, что эта спецификация может быть интерпретирована как изменение позиции Икс ′ в одиночку, так что интеграл можно рассматривать как аналог г С "=" ∑ ∂ С ∂ Икс я г Икс я . Это также кажется важным при работе с генерирующими функционалами, но я еще не изучал их, так что могу ошибаться.

Я хотел бы знать, почему эта спецификация ( ф "=" дельта 4 ( Икс − Икс ′ ) ) сделано, и если оба определения эквивалентны.

Ответы (2)

Помимо того, что последнее определение не является «математически разумным», как указал md2perpe, эквивалентность можно легко установить следующим образом:

Позволять дельта Икс 0 обозначим дельта-распределение Дирака с центром в Икс 0 , напр. дельта Икс 0 ( Икс ) "=" дельта ( Икс − Икс 0 ) .

Предположим, что С функционально дифференцируем при ψ . то для любого варианта ф у нас есть

дельта С [ ψ ] "=" ∫ г 4 Икс дельта С [ ψ ] дельта ψ ( Икс ) ф ( Икс ) .
Поскольку это верно для любой вариации (или по крайней мере для тех, которые обращаются в нуль на границе), мы можем заменить ф с дельта Икс 0 . Тогда мы получаем
дельта С [ ψ ] специфический "=" ∫ г 4 Икс дельта С [ ψ ] дельта ψ ( Икс ) дельта Икс 0 ( Икс ) "=" дельта С [ ψ ] дельта ψ ( Икс 0 ) ,
поэтому использование дельта-распределения Дирака в качестве «тестовой функции» даст вам функциональную производную напрямую, а не косвенно.

Но, конечно же, как было указано, это формальная манипуляция, которая на самом деле не является разумной с математической точки зрения.

В большинстве практических случаев эти два определения эквивалентны, но последнее определение не является математически разумным. Функционал С определяется для гладких функций и дельта 4 это даже не функция.

Различные определения функциональной производной
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v