Производные более высокого порядка, чем дифференциальные уравнения второго порядка

Из https://doi.org/10.1063/1.2155755

он ограничился дифференциальными уравнениями второго порядка.

Наш опыт в физике элементарных частиц научил нас, что любой член в полевых уравнениях физики, допускаемый фундаментальными принципами, скорее всего, будет присутствовать в уравнениях

Я предполагаю, что автор имеет в виду с точки зрения эффективной теории поля. А именно, эффективные действия включают неперенормируемые члены, что может привести к более высоким производным. Я пытаюсь увидеть пример за пределами дифференциальных уравнений второго порядка.

Позвольте мне начать с ф 4 . Эффективным лагранжианом является, например, уравнение Пескина и Шредера. (12.23)

(1) ∫ д д Икс л е ф ф "=" ∫ д д Икс ′ [ 1 2 ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 + 1 2 м ′ 2 ф ′ 2 + 1 4 ( λ ′ ф ′ 4 + С ( ∂ мю ′ ф ′ ) 4 + Д ′ ф ′ 6 + ⋯ ) ]

Я полагаю

(2) л е ф ф "=" 1 2 ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 + 1 2 м ′ 2 ф ′ 2 + 1 4 ( λ ′ ф ′ 4 + С ( ∂ мю ′ ф ′ ) 4 + Д ′ ф ′ 6 + ⋯ )

Попробуйте составить классическое уравнение движения. Из уравнения Эйлера-Лагранжа

(3) ∂ л ∂ ф − ∂ мю ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) "=" 0
подставьте эффективный лагранжиан, мы должны получить несколько дополнительных членов, чем уравнение Клейна-Гордона
(4) ◻ ф ′ − м 2 ф ′ + С ∂ мю ′ [ ( ∂ ′ мю ф ′ ) ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 ] + ⋯ "=" 0.

До сих пор дополнительный термин с префактором С по-прежнему выглядит как дифференциальное уравнение второго порядка, как одна производная первого порядка вне квадратных скобок, ∂ мю ′ , действующий на один производный член первого порядка ( ∂ ′ мю ф ′ ) умножить на другой член производной первого порядка (производная первого порядка умножить на себя) ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 , т.е. ( ф г ) ′ "=" ф ′ г + ф г ′ . Если я дополнительно организую внутреннюю квадратную скобку дополнительного члена с помощью ф ′ г "=" （ ф г ) ′ − ф г ′ ,

(5) С ∂ мю ′ [ ( ∂ ′ мю ф ′ ) ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 ] ≡ С ∂ мю ′ { ( ∂ ′ мю ф ′ ) ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 } "=" С ∂ мю ′ { ∂ ′ мю [ ф ′ ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 ] − ф ′ ∂ ′ мю [ ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 ] } "=" С ∂ мю ′ _ { ∂ ′ мю [ ф ′ ( ∂ мю ′ ф ′ ) 2 ] − 2 ф ′ [ ( ∂ ′ мю ф ′ ) ( ∂ ′ мю ∂ мю ′ _ ф ′ ) ] } .

Кажется, я получаю дифференциальное уравнение третьего порядка из подчеркнутой части приведенного выше уравнения. Верны ли мои рассуждения?

Я думаю, что я не навязывал никакого квантования при получении уравнения движения (кроме эффективного действия из интегралов по путям), поскольку я думаю, что точка зрения в сегодняшнем эссе по физике не очень связана с квантованием. Или я даже не ошибаюсь?

Или дифференциальное уравнение второго порядка следует считать как общее количество членов производных, чем проводить дифференцирование второго порядка по одному члену?

Вы также получаете член третьего порядка из первого члена в фигурных скобках. Члены третьего порядка должны отмениться, если вы все выпишете. Но, честно говоря, я думаю, что проще просто взять производную непосредственно из строки 1 или строки 2, чем «дополнительно организовывать» вещи в строках 3 и 4.
Хорошо... тогда, надеюсь, есть пример для дифференциальных уравнений более высокого порядка
Конечно. ( ◻ ф ) 2 .

Ответы (1)

  1. ОП прав в том, что если плотность Лагранжа остается 1-го порядка, то уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) будут только 2-го порядка. См. также, например, этот и этот связанные сообщения Phys.SE.

  2. Однако эффективное действие Вильсона

    опыт { − 1 ℏ Вт с [ Дж ЧАС , ф л ] }   "="       ∫ Д ф ЧАС ℏ   опыт ⁡ { 1 ℏ ( − С [ ф л + ф ЧАС ] + Дж к ЧАС ф ЧАС к ) }
    определяется путем интегрирования тяжелых/высоких мод ф ЧАС к и выходя из светлых/низких режимов ф л к . Здесь Дж к ЧАС обозначает источники для тяжелых мод. Эффективное действие Вильсона (возможно, нелокальное !) Вт с [ Дж ЧАС , ф л ] является производящим функционалом связного ф ЧАС Диаграммы Фейнмана на заднем плане Дж ЧАС , ф л .

  3. Тем не менее, тяжелые пропагаторы экспоненциально подавлены, поэтому нелокальность мягкая и может быть учтена с помощью разложения Тейлора , ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

  4. В результате в вильсоновском потоке ренормализационной группы плотность вильсоновского лагранжиана в принципе будет содержать все возможные члены, не исключаемые симметрией, например

    … + … + Е 2 ( ∂ мю ∂ ν ф ) ( ∂ мю ∂ ν ф ) + Ф 2 ( ∂ мю ф ) ( ∂ мю ∂ ν ф ) ( ∂ ν ф ) + … ,
    т. е. плотность лагранжиана становится более высокого порядка .

  5. Для лагранжевых теорий более высокого порядка уравнения ЭЛ (3) принимают вид

    0   ≈   дельта С дельта ф   "="   ∂ л ∂ ф − ∑ мю д д Икс мю ∂ л ∂ ( ∂ мю ф ) + ∑ мю ≤ ν д д Икс мю д д Икс ν ∂ л ∂ ( ∂ мю ∂ ν ф ) − … .
    Здесь ≈ символ означает равенство по модулю eoms, а многоточие … обозначает возможные члены с более высокой производной.

  6. В общем случае, если плотность лагранжиана равна н '-го порядка, то уравнения ЭЛ будут иметь вид 2 н й заказ.

Производные более высокого порядка, чем дифференциальные уравнения второго порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v