Каков вывод формулы вероятности передачи через барьер?

Приведенная формула немного бесцеремонна, но они не пытаются зафиксировать точную форму, просто получить некоторое представление о функциональной зависимости поведения. Обратите также внимание, что они не предоставляют точную форму барьера для начала, так что, вероятно, это лучшее, что они могут сделать. Все это нормально, и именно поэтому они дают такой упрощенный результат.

Тем не менее, вот как это получить: во-первых, предположим, что электрон распространяется как плоская волна (как в свободном пространстве):$\Psi(x) \propto e^{i k x / \hbar}$. Предположим, что внутри барьера электрон также распространяется по этой формуле. Затем предположим, что "высота барьера" является положительным значением$q\phi =$(потенциальная энергия внутри барьера)$-$(энергия электрона) ; это равно заряду$q$раз потенциал$\phi$потому что барьер электростатический. Эффективный импульс электрона в барьере определяется выражением

$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} = -q \phi \Rightarrow k = \sqrt{ \frac{ -2m^*q\phi }{\hbar^2}} = i \sqrt{\frac{2m^*q\phi}{\hbar^2}}$$ Помещая это в выражение для волновой функции плоской волны, показатель степени становится действительным и отрицательным, поэтому волновая функция затухает экспоненциально. $$\Psi(x) \propto e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}x}$$ Сдача $x$быть ширина барьера действительно принимает это соотношение, где я позволяю ближнему краю барьера быть в положении 0: $$\frac{\Psi(d)}{\Psi(0)} \propto \frac{e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}}{e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}0}} = e^{-\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ Теперь возникает вопрос, как это нормализовать. Идея «вероятности пребывания в данном месте в данном состоянии» на самом деле не имеет смысла для тока, поэтому мы нормализуем в соответствии с текущим вероятностью. $J$электронов (что, умноженное на их заряд, как раз и дает электрический ток). Позволять $J_I$быть падающим током и $J_T$быть передаваемый ток. Затем $$\frac{J_T}{J_I} = \left ( \frac{\Psi(d)}{\Psi(0)} \right )^2 \propto e^{-2\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ (Квадрат потому, что амплитуда волновой функции пропорциональна квадратному корню из вероятности, а не самой вероятности.) Конечно, дробь $J_T/J_I$- число прошедших электронов над числом падающих электронов, т. е. вероятность передачи $T$. Поэтому $$T \propto e^{-2\sqrt{\frac{2m^* |q\phi|}{\hbar^2}}d}$$ КЭД