Какова физическая интерпретация гармонических координат?

Хорошо известное свойство гармонических координат состоит в том, что ковариантная дивергенция векторного поля и даламбертиан скалярного поля принимают особенно простую форму:

$$D_{\mu}A^{\mu} \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu}A_{\nu},\\ g^{\mu\nu}D_{\nu}D_{\mu}\phi \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu} \partial_{\nu}\phi.$$ Гармоническое состояние $$\partial_{\mu}\left( \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\right) =0\qquad\qquad\left( 1\right)$$ широко используется для построения так называемой калибровки де Дондера для квантования слабого гравитационного поля. Если использовать отклонение $\psi^{\mu\nu}$контравариантной метрической плотности от плоской $\eta^{\mu\nu}=diag\left( 1,-1,-1,-1\right)$как переменная поля: $$\sqrt{-g}g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\psi^{\mu\nu},$$ тогда калибровочное условие $\partial_{\mu}\psi^{\mu\nu}=0$очень похоже на известное условие Лоренца (калибровка Фейнмана) $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$. Если кто-то хочет использовать отклонение ковариантного метрического тензора в качестве переменной поля $$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad\left( 2\right)$$ то разложение по слабому полю условия (1) принимает вид: $$\partial_{\mu}\left( h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h_{\alpha}^{\alpha }\right) =0.$$

Разложение действия Эйнштейна-Гильберта по слабому полю относительно$h_{\mu\nu}$-поле (2) имеет вид:

$$S =\frac{1}{16\pi G_{N}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\sqrt{-g}\,R\\ =\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\partial_{\alpha}h\,\partial^{\alpha }h-2\,\partial_{\mu}h^{\mu\nu}\left( \partial_{\alpha}h_{\nu}^{\alpha }-\partial_{\nu}h\right) +O\!\left( h^{3}\right) \right] ,$$ где $\kappa=\sqrt{32\pi G_{N}}$. Калибр можно зафиксировать, добавив термин: $$\frac{1}{\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\left( \partial_{\alpha}h_{\mu }^{\alpha}-\frac{1}{2}\partial_{\mu}h\right) \left( \partial_{\beta} h^{\beta\mu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}h\right) ,$$ таким образом, действие принимает особую простую форму: $$S=\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\frac{1}{2}\partial_{\alpha }h\,\partial^{\alpha}h+O\!\left( h^{3}\right) \right] .$$ Поэтому в калибровке де Дондера гравитонный пропагатор имеет очень простой вид: $$D_{\mu\nu,\alpha\beta}=\left\langle 0\left\vert T\,h_{\mu\nu}\left( x\right) h_{\alpha\beta}\left( y\right) \right\vert 0\right\rangle =i\kappa^{2} \int\frac{\mathrm{d}^{4}p}{\left( 2\pi\right) ^{4}}\frac{e^{-ip\cdot\left( x-y\right) }}{p^{2}+i0}\times\frac{1}{2}\left( \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta }+\eta_{\mu\beta}\eta_{\nu\alpha}-\eta_{\mu\nu}\eta_{\alpha\beta}\right) .$$ Калибровка де Дондера является, так сказать, аналогом ОТО калибровки Фейнмана для КХД или КЭД.

Используя калибровочное условие (1) и вершины, извлеченные из разложения по слабому полю действия Эйнштейна-Гильберта, и используя теорию возмущений КТП относительно$h_{\mu\nu}$, можно найти, например, гравитационное поле статического бесспинового источника. Результат будет не более$r_{g}/r$-разложение метрики Шварцшильда по гармоническим координатам (см., например, С. Вайнберг, Гравитация и космология , уравнение (8.2.15)):

$$ds^{2}=\frac{1-r_{g}/\left( 2r\right) }{1+r_{g}/\left( 2r\right) } \,dt^{2}-\frac{1+r_{g}/\left( 2r\right) }{1-r_{g}/\left( 2r\right) }\,\frac{r_{g}^{2}}{4r^{4}}\left( \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}\right) ^{2}-\left( 1+\frac{r_{g}}{2r}\right) ^{2}d\mathbf{r}^{2}.$$