Инфинитезимальные преобразования для релятивистской частицы

I) Пассивный образ. Эйнбейн$e$не является инвариантом, а преобразуется как

$$e~=~e^{\prime} \frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}\tag{1}$$

при репараметризации параметра мировой линии (WL)

$$\tau\longrightarrow \tau^{\prime}=f(\tau).\tag{2}$$

Другими словами,$\omega:= e \mathrm{d}\tau\in \Gamma(T^{\ast}I)$является одной формой на одномерном многообразии WL$I$. Положение частицы

$$x^{\mu}~=~x^{\prime \mu}\tag{3}$$

инвариантна, а скорость частицы преобразуется как

$$\dot{x}^{\mu}~=~\dot{x}^{\prime \mu}\frac{d\tau^{\prime}}{d\tau}.\tag{4}$$

Эти правила преобразования (1)-(4) можно рассматривать по-разному. Один из способов заключается в том, что действие

$$S~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L , \qquad L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2},\tag{5}$$

должны быть инвариантны относительно репараметризаций (2). См. также соответствующий пост Phys.SE.

II) Активное изображение. С точки зрения одномерного многообразия WL$I$, бесконечно малое преобразование$\delta$например, может быть закодировано с помощью производных Ли ${\cal L}_Y$относительно векторное поле

$$Y ~=~\eta \frac{d}{d\tau}~\in~ \Gamma(TI)\tag{6}$$

на одномерном многообразии WL$I$. Производные Ли

$${\cal L}_Y x^{\mu}~=~Y[x^{\mu}]~=~\eta \frac{dx^{\mu}}{d\tau},\tag{7}$$

$$({\cal L}_Ye)\mathrm{d}\tau~:=~{\cal L}_Y\omega ~=~\{\mathrm{d}, i_Y\}\omega~=~\mathrm{d}i_Y\omega$$ $$~=~\mathrm{d}(i_Y\omega)~=~\mathrm{d}(\eta e) ~=~\mathrm{d}\tau\frac{d}{d\tau}(\eta e),\tag{8}$$

и поэтому

$${\cal L}_Ye ~\stackrel{(8)}{=}~\frac{d}{d\tau}(\eta e).\tag{9}$$

Формулы (6), (7) и (9) соответствуют уравнению (1.10) в работе. 1

$$\tag{1.10} \tau\to \tilde{\tau}=\tau-\eta, \qquad \delta x^{\mu}~=~\eta\frac{d x^{\mu}}{d\tau}, \qquad \delta e ~=~\frac{d}{d\tau}(\eta e),$$ соответственно.

III) Классическая формулировка БВ. Отметим для полноты, что калибровочное преобразование$\delta$может быть закодировано как преобразование BRST, ср. например, ссылка 2 и этот пост Phys.SE. Грубо говоря, четный по Грассману калибровочный параметр$\eta$затем заменяется призраком Грассмана-нечетного Фаддеева-Попова (ФП)$C$. (На самом деле калибровочный параметр$\eta$точнее будет заменено сочетанием$e^{1-r}C$, куда$r\in\mathbb{R}$есть сила, если быть более общим, ср. экв. (16) ниже.) Чтобы свести к минимуму появление производных по времени, вместо использования лагранжиана (5) становится немного проще начать с гамильтониана лагранжиана

$$L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H, \qquad H~:=~ eT, \qquad T~:=~\frac{1}{2}(p^2+m^2), \qquad p^2~:=~ g^{\mu\nu}(x)~p_{\mu} p_{\nu}, \tag{11}$$

ср. например , этот пост Phys.SE. Здесь мы воспользуемся формализмом Баталина-Вилковиского (БВ) , ср . Ссылка 3. Поля

$$\phi^{\alpha} ~=~ \{ x^{\mu};~p_{\mu};~ e;~C;~ \bar{C};~B\} \tag{12}$$

позиции$x^{\mu}$; импульсы$p_{\mu}$; Эйнбейн$e$; ФП призрак$C$; FP антипризрак$\bar{C}$; и Лаутруп-Наканиши (LN) множитель Лагранжа$B$, соответственно. Это тензоры WL контравариантных порядков.$0$;$0$;$-1$;$r$;$1$; и$1$, соответственно. Каждое поле$\phi^{\alpha}$имеет соответствующее антиполе$\phi^{\ast}_{\alpha}$противоположной четности Грассмана. Соответствующее действие BV$^1$

$$S_{BV}~=~\int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BV} ,$$ $$L_{BV}~=~L_H +\left(x^{\ast}_{\mu} \dot{x}^{\mu}+p_{\ast}^{\mu} \dot{p}_{\mu} +r C^{\ast}\dot{C} \right)e^{r-1}C +\underbrace{e^r C\dot{e}^{\ast}}_{\sim~e^{\ast}\frac{d}{d\tau}( e^r C)} + B \bar{C}^{\ast},\tag{13}$$

удовлетворяет классическому основному уравнению

$$(S_{BV},S_{BV})~=~0, \tag{14}$$

с антикронштейном $(\cdot,\cdot)$на форме Дарбу, т.е. ненулевые фундаментальные антискобки читаются

$$(\phi^{\alpha}(\tau),\phi^{\ast}_{\beta}(\tau^{\prime})) ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}). \tag{15}$$

Грассман-нечетное нильпотентное БРСТ-преобразование${\bf s}~=~(S_{BV},\cdot)$читает

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu}~=~e^{r-1} C \dot{p}_{\mu}, \qquad {\bf s}e~=~ \frac{d}{d\tau}( e^r C),$$ $${\bf s}C~=~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s}B ~=~0, \tag{16}$$

который следует сравнить с ур. (1.10). Фермион, фиксирующий калибровку BV$\psi$можно выбрать на форме

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau~\bar{C}\left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right), \tag{17}$$ куда $\xi,\epsilon\in\mathbb{R}$– калибровочные фиксирующие параметры. Более того, $\chi(e)=(e\!-\!e_0)\chi^{\prime}$является условием фиксации калибровки (которое мы будем считать аффинным в $e$, так что производная $\chi^{\prime}$является постоянным). Лагранжиан с фиксированной калибровкой становится

$$L_{\rm gf}~=~ \left. L_{BV} \right|_{\phi^{\ast}~=~\frac{\delta \psi}{\delta \phi}}~=~ L_H + \overbrace{\underbrace{\left(\chi^{\prime}\bar{C}-\epsilon\dot{\bar{C}}\right) \frac{d}{d\tau}(e^r C)}_{ \sim~ \bar{C} \left(\frac{\chi^{\prime}}{2}+\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}(e^r C) + e^r C\left(\frac{\chi^{\prime}}{2}-\epsilon\frac{d}{d\tau}\right)\frac{d}{d\tau}\bar{C} }}^{\text{Faddeev-Popov term}} + \overbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right)}^{\text{gauge-fixing term}} , \tag{18}$$

где$\sim$символ означает равенство с точностью до полной производной по времени. Физические величины не зависят от выбора фермиона, фиксирующего калибровку.$\psi$, если выполняются определенные условия ранга.

IV) Основное квантовое уравнение. Нечетный лапласиан

$$\Delta~=~(-1)^{|\alpha|}\int\! \mathrm{d}\tau~ \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau)} ~=~(-1)^{|\alpha|}\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})\frac{\delta_L}{\delta\phi^{\alpha}(\tau)} \frac{\delta_L}{\delta\phi^{\ast}_{\alpha}(\tau^{\prime})} \tag{19}$$

является сингулярным объектом, который, строго говоря, нуждается в регуляризации. Мы вычисляем формально

$$\Delta S_{BV}~\stackrel{(13)+(19)}{=}~ 2(n\!-\!r)\iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}C(\tau)~ \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}) \frac{d}{d\tau}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})$$ $$+r \iint\! \mathrm{d}\tau~\mathrm{d}\tau^{\prime}~ e(\tau)^{r-1}\dot{C}(\tau)~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime})^2~\neq~0, \tag{20}$$ куда $n$размерность целевого пространства (TS). Это показывает, что действие БВ (13) не удовлетворяет основному квантовому уравнению; только классическое основное уравнение. Мы обсудим соответствующие модификации действия BV (13) в разделе VII.

V) Классическая формулировка BFV. Мы определяем$p_e\approx\epsilon B$с каноническим импульсом айнбейна$e$, и отождествим антиполе$e^{\ast}\equiv \bar{P}$с призрачным импульсом FP. Введем ультралокальную скобку Пуассона$\{\cdot,\cdot\}_{PB}$со следующими каноническими парами

$$\{x^{\mu}(\tau), p_{\nu}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\mu}_{\nu}~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{e(\tau)^rC(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),$$ $$\{e(\tau), B (\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{\bar{C}(\tau), P(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{1}{\epsilon}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{21}$$

Обратите внимание на форму, отличную от Дарбу.

$$\{C(\tau), \bar{P}(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~e(\tau)^{-r}\delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \qquad \{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{PB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{22}$$

чтобы убедиться, что

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{PB}~=~0. \tag{23}$$

Преобразование BRST${\bf s}~=~\{\mathbb{Q},\cdot\}_{PB}$(который не зависит от$\epsilon$-параметр) читает

$${\bf s}x^{\mu}~=~e^r C g^{\mu\nu}(x)p_{\nu} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{x}^{\mu}, \qquad {\bf s}p_{\mu} ~=~ -\frac{1}{2}e^r C \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} ~\approx~ e^{r-1} C \dot{p}_{\mu},$$ $${\bf s}e~=~P~\approx~ \frac{d}{d\tau}( e^r C) , \qquad {\bf s}C~=~r\frac{C}{e}P ~\approx~ re^{r-1} C\dot{C},\qquad {\bf s}\bar{C}~=~ - B,\qquad {\bf s} B ~=~0, \tag{24}$$

который следует сравнить с ур. (16). Здесь$\approx$символ означает равенство по модулю eqs. движения. БРСТ-преобразование (24) генерируется

$$\mathbb{Q}~:=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~Q, \qquad \{\mathbb{Q}, \mathbb{Q}\}_{PB}~=~0,\tag{25}$$

куда

$$-Q~:=~T e^r C + \epsilon B P ~\approx~ T e^r C + \epsilon B \frac{d}{d\tau}( e^r C)\tag{26}$$

является зарядом BRST. Действие BFV становится

$$S_{BFV} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau~\left(\dot{x}^{\mu}p_{\mu}+e^r C\dot{\bar{P}} \right) -\left\{ \psi, \mathbb{Q} \right\}_{PB} ~=~ \int \! \mathrm{d}\tau ~L_{BFV} , \tag{27}$$

где фиксирующий калибровку фермион BFV$\psi$является

$$\psi ~:=~\int \! \mathrm{d}\tau \left(\bar{C} \left(\frac{\xi}{2}B +\chi(e) +\epsilon \dot{e}\right) -\bar{P}e\right),\tag{28}$$

и где читается лагранжиан BFV$^2$

$$L_{BFV}~=~\left(p_{\mu}\dot{x}^{\mu}+ e^r C\dot{\bar{P}} \right) + \epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right) + \left(-eT +\bar{C}\chi^{\prime} P +B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right) -\bar{P}P \right)$$ $$~\sim~ L_H+ \underbrace{\epsilon\left( B \dot{e} + \bar{C} \dot{P}\right)}_{\text{kinetic term}}+ \bar{P}\left( \frac{d}{d\tau}( e^r C)-P\right) + \underbrace{\bar{C} \chi^{\prime} P}_{\text{FP term}} + \underbrace{B \left(\frac{\xi}{2}B+\chi(e)\right)}_{\text{gauge-fixing term}} \tag{29} .$$

VI) скобка Дирака. Проинтегрируем два импульса ФП$P$и$\bar{P}$. Тогда лагранжиан БФВ (29) становится калибровочно фиксированным лагранжианом (18) из раздела III. Соответствующие два ограничения второго класса

$$\Theta~:=~ P - \frac{d}{d\tau}( e^r C)~\approx~0, \qquad \bar{\Theta}~:=~ \bar{P} - \chi^{\prime} \bar{C}+\epsilon\dot{\bar{C}}~\approx~0,\tag{30}$$

имеет ненулевую скобку Пуассона

$$\Delta(\tau,\tau^{\prime} ) ~:=~ \{\Theta(\tau), \bar{\Theta}(\tau^{\prime}) \}_{PB} ~=~ -\left(\frac{\chi^{\prime}}{\epsilon}+2\frac{d}{d\tau} \right) \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}),\tag{31}$$

с обратным

$$\Delta^{-1}(\tau,\tau^{\prime} ) ~=~ - \frac{1}{4} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{32}$$

Поэтому скобка Дирака становится

$$\{e(\tau)^rC(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~ \frac{1}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}).\tag{33}$$

В качестве альтернативы, пуассоновскую структуру (33) можно вывести из члена ФП в лагранжиане с фиксированной калибровкой (18).

Обратите внимание на форму, отличную от Дарбу.

$$\{C(\tau), \bar{C}(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{e(\tau)^{-r}}{4\epsilon} \exp\left[\frac{(\tau^{\prime}-\tau)\chi^{\prime}}{2\epsilon}\right] {\rm sgn}(\tau\!-\!\tau^{\prime}) ,$$ $$\{ B (\tau), C(\tau^{\prime})\}_{DB} ~=~\frac{r}{\epsilon} \frac{C(\tau)}{e(\tau)} \delta(\tau\!-\!\tau^{\prime}), \tag{34}$$

чтобы убедиться, что

$$\{e(\tau)^r C(\tau), B(\tau^{\prime})\}_{DB}~=~0.\tag{35}$$

VII) Квантовая формулировка BV. уравнения (20), (22) и (34) предполагают, что мы должны положить$r=0$, так что давайте делать это с этого момента. Вдохновленные преобразованиями BFV-BRST (24), мы модифицируем лагранжиан BV (13) в

$$\tilde{L}_{BV}~=~L_H +x^{\ast}_{\mu} g^{\mu\nu}(x)p_{\nu}C -\frac{1}{2}p_{\ast}^{\mu} \partial_{\mu}g^{\nu\lambda}(x)~p_{\nu}p_{\lambda} C +e^{\ast}\dot{C} + B \bar{C}^{\ast}. \tag{36}$$

Можно показать, что основное квантовое уравнение теперь удовлетворяется$^1$

$$(\tilde{S}_{BV}, \tilde{S}_{BV})~=~0~=~\Delta\tilde{S}_{BV}. \tag{37}$$

Модификация (36) не меняет калибровочно фиксированный лагранжиан (18), за исключением добавления$r=0$.

Использованная литература:

1. Дэвид Тонг, Лекции по теории струн, arXiv:0908.0333 .

2. Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1, 1998; Раздел 4.2.

3. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994; Глава 17.

--

$^1$Мы игнорируем граничные условия. Фактически это означает, что мы накладываем соответствующие граничные условия и ограничиваем калибровочную симметрию объемом.

$^2$ The $\epsilon$-зависимость в БФВ-действии (27) исходит только от фермиона, фиксирующего калибровку (28). $\epsilon$-зависимость может быть удалена с помощью переопределения

$$\epsilon B~\longrightarrow~ B, \qquad \epsilon\bar{C}~\longrightarrow~ \bar{C}, \qquad \frac{\chi}{\epsilon} ~\longrightarrow~ \chi, \qquad \frac{\xi}{\epsilon^2} ~\longrightarrow~ \xi .\tag{38}$$

В пределе$\epsilon\to 0$, бесконечности справа. скобки Пуассона (21) следует интерпретировать как нуль, т. е. соответствующие канонические переменные становятся несвязанными.