Какова форма диаграммы направленности детектора в эксперименте Штерна-Герлаха с источником пучка (вместо вентилятора)?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Как вы сами говорите, «интуиция и КМ редко смешиваются», и именно она является источником вашего заблуждения. Если магнитный момент$\vec{μ_S}$действительно были классическим четко определенным трехмерным вектором, классически взаимодействующим с градиентом магнитного поля.

Но магнитный момент атомов серебра определяется количественно и представляет собой спин$½$, и поэтому любое измерение этой величины может принимать только два значения,$±μ_S$. Вероятность получения каждого значения будет зависеть от исходного состояния.

Более количественно давайте посмотрим на квантовое состояние, соответствующее классическому вектору$\vec{μ_S}$ориентированы по направлению$(θ,φ)$:

$$\begin{align} \vec{μ_S}&=μ_S\begin{bmatrix}\sin θ \cosφ\\\sin θ\sin φ \\\cos θ\end{bmatrix}\\ \ket{\vec{μ_S}}&=\cos\tfrac{θ}{2}\ket{↑}+e^{iφ}\sin\tfrac{θ}{2}\ket{↓} \end{align}$$ где $↑$(раскрутка) соответствует $θ=0$и $↓$(вращение вниз) к $θ=π$. Каждое направление в трехмерном пространстве действительно соответствует «различному» квантовому состоянию, но два состояния ортогональны (в квантовом смысле, т.е. в гильбертовом пространстве), если они соответствуют диаметрально противоположному направлению в трехмерном пространстве ( $θ' = π-θ$и $φ'=φ ±π$).

Предположим, вы подготавливаете поляризованный карандашный луч в четко определенном направлении.$(θ,φ)$, и что магнитный градиент вашего аппарата Штерна-Герлаха проходит вдоль$z$направлении луч расщепляется вдоль$z$направление, с дробью$\left(\cos\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1+\cosθ}2$атомов, поднимающихся вверх, и часть$\left(\sin\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1-\cosθ}2$атомов, идущих вниз (и$φ$не имеет никакого влияния).

Поэтому, если луч поляризован в направлении, отклоняющемся от$z$($θ∉\{0,π\}$), атомы разделились на две разные точки. Если луч полностью неполяризован, вы усредняете по всем ангелам и находите соотношение 50:50 между двумя точками.

Если градиент не строго вдоль постоянного направления, вычисления становятся сложными, и мы можем получить некоторые причудливые интерференционные эффекты.

отредактируйте, чтобы ответить на ваш вопрос о «редактировании»: в качестве измерительного прибора прибор Штерна-Герлаха проецирует вращение в$\ket{↑},\ket{↓}$основе, поэтому, если спин не выровнен с$z$-ось, это заставляет его быть выровненным. На самом деле это происходит путем связывания спина (вдоль$z$) к физическому положению атома, которое само проецируется взаимодействием с окружающей средой или, самое позднее, с измерительной пластиной.

С практической точки зрения причина использования широкого плоского луча может заключаться в простой настройке и хорошей скорости без размытия сигнала со значительной дисперсией в направлении z.

Не нужно чрезмерно усложнять вещи.

Но что происходит с частицами, у которых спин не ориентирован по оси z?

Форма не меняется, меняется плотность измерений, формирующих форму.

Изменяет ли устройство СГ вращательный момент частицы?

Кто-то может поправить меня, если я ошибаюсь, но я не думаю, что это так.

Это тема, которая является предметом огромных заблуждений, вплоть до Фейнмана. Не существует машины, которая расщепляет луч (карандашный пучок) атомов серебра на два пути. Причина очевидна. Вы не можете создать магнитное поле, сила которого меняется в направлении вверх-вниз, не изменяя в то же время точно так же в направлении xy.

Неполяризованный луч атомов серебра фактически растянут в кольцо. Поляризованный луч делает нечто еще более интересное. Я писал об этом в своем блоге пару лет назад: The Quantization of Spin Revisited.