Какова функция времени после переходного процесса в демпфированном гармоническом генераторе?

Question

Какова функция времени после переходного процесса в демпфированном гармоническом генераторе?

Фаусто Веццаро

Проблема освещена во многих книгах, но нигде я не нашел ответа на этот вопрос: интересно, что такое $x=x(t)$ это кажется мне не таким тривиальным, потому что возникает проблема со знаком, которую я нигде не могу найти. Позволь мне объяснить. Дифференциальное уравнение, управляющее движением, можно записать

\begin{matrix} (1) & \ddot{Икс} + \frac{1}{а} \dot{Икс} + ю_{0}^{2} Икс "=" ф_{0} грех ю т \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \ddot{x} + \frac{1}{a} \dot{x}+\omega_0^2 x = f_0 \sin \omega t \end{equation}$ где

ω_{0}

$\omega_0$ правильная частота,

ω

$\omega$ - частота внешней синусоидальной силы,

f_{0} = \frac{F_{0}}{m}

$f_0=\frac{F_0}{m}$ (существование

F_{0}

$F_0$ максимум внешней силы

F (t) = F_{0} \sin ω t

$F(t)=F_0 \sin \omega t$ ) и

a = \frac{m}{c}

$a=\frac{m}{c}$ (существование

c

$c$ постоянная трения, что важно, здесь важно то, что все они постоянны). Предположим, что верна разумная гипотеза о том, что искомое нами частное решение является синусоидальным (другими словами, предположим, что независимо от начальных граничных условий, далеко во времени движение будет синусоидальным, задача состоит в нахождении амплитуды и фазового сдвига с сила)

\begin{matrix} (2) & Икс (т) "=" {Икс}_{0} грех (ю т - ф) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} x(t) = x_0 \sin (\omega t - \phi) \end{equation}$ Используя тригонометрические тождества и делая производные, мы получаем

\begin{matrix} (3) & Икс (т) "=" {Икс}_{0} (грех ю т потому что ф - потому что ю т грех ф) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} x(t) = x_0 (\sin \omega t \cos \phi - \cos \omega t \sin \phi) \end{equation}$

\begin{matrix} (4) & \dot{Икс} (т) "=" {Икс}_{0} ю (грех ю т грех ф + потому что ю т потому что ф) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \dot{x}(t) = x_0 \omega (\sin \omega t \sin \phi + \cos \omega t \cos \phi) \end{equation}$

\begin{matrix} (5) & \ddot{Икс} (т) "=" - {Икс}_{0} ю^{2} (грех ю т потому что ф - потому что ю т грех ф) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} \ddot{x}(t) = -x_0 \omega^2 (\sin \omega t \cos \phi - \cos \omega t \sin \phi) \end{equation}$ Составляя дифференциальное уравнение, я могу найти, что

x (t)

$x(t)$ является решением, если оно удовлетворяет системе

\begin{matrix} (6) & {\begin{cases} - ю^{2} потому что ф + \frac{ю}{а} грех ф + ю_{0}^{2} потому что ф "=" \frac{ф}{{Икс}_{0}} \\ ю^{2} грех ф + \frac{ю}{а} потому что ф - ю_{0}^{2} грех ф "=" 0 \end{cases} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \begin{cases} - \omega^2 \cos \phi + \frac{\omega}{a} \sin \phi + \omega_0^2 \cos \phi = \frac{f}{x_0} \\ \omega^2 \sin \phi + \frac{\omega}{ a } \cos \phi - \omega_0^2 \sin \phi = 0 \end{cases} \end{equation}$ Со второго имеем

\begin{matrix} (7) & грех ф "=" \frac{ю / а}{ю_{0}^{2} - ю^{2}} потому что ф \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{7} \sin \phi = \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos \phi \end{equation}$ и заменой в первом имеем

\begin{matrix} (8) & потому что ф "=" \frac{ф_{0}}{{Икс}_{0}} \cdot \frac{ю_{0}^{2} - ю^{2}}{(ю / а)^{2} + (ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{8} \cos \phi = \frac{f_0}{x_0} \cdot \frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega/ a )^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2} \end{equation}$ и заменяя (8) в (7), получаем

\begin{matrix} (9) & грех ф "=" \frac{ф_{0}}{{Икс}_{0}} \cdot \frac{ю / а}{(ю / а)^{2} + (ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{9} \sin \phi = \frac{f_0}{x_0} \cdot \frac{\omega / a}{(\omega/ a )^2 + (\omega_0^2 - \omega^2)^2} \end{equation}$ Из (7) имеем

\begin{matrix} (10) & загар ф "=" \frac{ю / а}{ю_{0}^{2} - ю^{2}} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{10} \tan \phi = \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}$ так что мы получаем

\begin{matrix} (11) & ф "=" арктический (\frac{ю / а}{ю_{0}^{2} - ю^{2}}) + н π н е Z \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{11} \phi = \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) + n \pi \qquad n \in \mathbb{Z} \end{equation}$ Но

\sin (\arctan (x) + n π) = \frac{(- 1)^{n} x}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\sin (\arctan(x) + n \pi) = \frac{(-1)^n x}{\sqrt{1+x^2}}$ и

\cos (\arctan (x) + n π) = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{1 + x^{2}}}

$\cos (\arctan(x) + n \pi) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{1+x^2}}$ поэтому из (11) имеем

\begin{matrix} (12) & грех ф "=" \frac{ю / а}{\sqrt{(ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2} + (ю / а)^{2}}} \cdot \frac{(- 1)^{н}}{с г н (ю_{0}^{2} - ю^{2})} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{12} \sin \phi = \frac{\omega / a}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \cdot \frac{(-1)^n}{\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)} \end{equation}$ где

\frac{ω_{0}^{2} - ω^{2}}{| ω_{0}^{2} - ω^{2} |}

$\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$ записывается как

s g n (ω_{0}^{2} - ω^{2})

$\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)$ (независимо от того, является ли аргумент размерным: из-за того, как определена функция sign) и

\begin{matrix} (13) & потому что ф "=" \frac{| ю_{0}^{2} - ю^{2} |}{\sqrt{(ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2} + (ю / а)^{2}}} \cdot (- 1)^{н} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{13} \cos \phi = \frac{|\omega_0^2 - \omega^2|}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \cdot (-1)^n \end{equation}$ они согласуются с (10) и с фундаментальным уравнением тригонометрии. Приравнивая (8) к (13) (или (9) к (12, это то же самое), получаем

\begin{matrix} (14) & {Икс}_{0} "=" \frac{ф_{0}}{\sqrt{(ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2} + (ю / а)^{2}}} (- 1)^{н} с г н (ю_{0}^{2} - ю^{2}) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{14} x_0 = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a )^2}} (-1)^n \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) \end{equation}$ Используя (11) и (14), мы можем записать закон движения (2) в виде

\begin{matrix} (15) & Икс (т) "=" \frac{ф_{0}}{\sqrt{(ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2} + (ю / а)^{2}}} (- 1)^{н} с г н (ю_{0}^{2} - ю^{2}) грех (ю т - арктический (\frac{ю / а}{ю_{0}^{2} - ю^{2}}) + н π) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{15} x(t) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} (-1)^n \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) \sin \left(\omega t - \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) + n \pi \right) \end{equation}$ Но

(- 1)^{n} \sin (x + n π) = \sin x

$(-1)^n\sin(x+n\pi)=\sin x$ так что у нас есть (независимо от того, если

n

$n$ четно или нечетно: отсюда

n

$n$ покидает нас)

\begin{matrix} (16) & Икс (т) "=" \frac{ф_{0}}{\sqrt{(ю_{0}^{2} - ю^{2})^{2} + (ю / а)^{2}}} грех (ю т - арктический (\frac{ю / а}{ю_{0}^{2} - ю^{2}})) с г н (ю_{0} - ю) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{16} x(t) = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega / a)^2}} \sin \left(\omega t - \arctan \left( \frac{\omega/a}{\omega_0^2 - \omega^2} \right) \right) \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \end{equation}$ где я написал

s g n (ω_{0}^{2} - ω^{2})

$\mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2)$ просто как

s g n (ω_{0} - ω)

$\mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega)$ потому что

ω_{0}, ω > 0

$\omega_0, \omega > 0$ по определению и

\begin{matrix} (17) & с г н (ю_{0}^{2} - ю^{2}) "=" с г н ((ю_{0} - ю) (ю_{0} + ю)) "=" с г н (ю_{0} - ю) с г н (ю_{0} + ю) "=" с г н (ю_{0} - ю) \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{17} \mathrm{sgn}(\omega_0^2 - \omega^2) = \mathrm{sgn}((\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega)) = \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \mathrm{sgn}(\omega_0 + \omega) = \mathrm{sgn}(\omega_0 - \omega) \end{equation}$ Вопрос : является ли (16) уравнением движения после переходного процесса? Выражение

x = x (t)

$x=x(t)$ менять знак в зависимости от

ω_{0} ≶ ω

$\omega_0 \lessgtr \omega$ ? Конечно, это не влияет на график функции, объясняющей резонанс, значение

ω

$\omega$ которые максимизируют амплитуду, максимальную амплитуду и т. д., однако я нигде не могу найти явное написание

x (t)

$x(t)$ после переходного периода, и это беспокоит меня. Я подставил (16) в (1), проверив, что дифференциальное уравнение действительно удовлетворяется: я склонен полагать, что знаковая функция должна быть включена в

x = x (t)

$x=x(t)$ как я сделал, но я не могу найти его нигде, поэтому я прошу подтверждения. Другими словами, я подозреваю, что не могу написать всегда верную формулу для

x (t)

$x(t)$ после перехода без использования функции sgn, если я не знаю, что больше между

ω

$\omega$ и

ω_{0}

$\omega_0$ . Это правда?

Ответы (2)

Какова функция времени после переходного процесса в демпфированном гармоническом генераторе?

сонный · Answer 1

Ты прав. Если мы проверим частоту внешней силы $\omega$ на резонансной частоте $\omega_0$ , отклик изменит свою фазу в резонансе. Математически, если выразить $x_0$ (амплитуда) как функция $f$ и $\omega$ из вашего уравнения 6, вы получите что-то вроде $\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}$ (Я намеренно отказался от демпфирования). Этот фактор отвечает за смену знака.

При отсутствии трения после переходного $x(t) = \frac{f_0}{\omega_0^2-\omega^2} \sin(\omega t)$ и амплитудный член меняет знак, когда мы пересекаем резонансную частоту (без функции sgn, и расходится, когда $\omega=\omega_0$ ). А вот с демпфированием дело обстоит гораздо тяжелее, и функция sgn выглядит неизбежной.

ДжейАлекс · Answer 2

параметризовать коэффициент демпфирования, чтобы

\ddot{Икс} + (2 ζ ю_{0}) \dot{Икс} + (ю_{0}^{2}) Икс "=" ф_{0} грех ю т

$\ddot{x} + (2 \zeta \omega_0) \dot{x} + (\omega_0^2) x = f_0 \sin \omega t$

где $\zeta$ является коэффициентом демпфирования.

и подогнать общее решение однородного уравнения к частному следующим образом:

Недостаточное демпфирование, $\zeta < 1$ $\begin{aligned} Икс (т) & "=" опыт (- ζ ю_{0} т) (А грех ю_{д} т + Б потому что ю_{д} т) + С грех ю т + Д потому что ю т \\ ю_{д} "=" ю_{0} \sqrt{1 - ζ^{2}} \\ С "=" ф_{0} \frac{ю_{0}^{2} - ю^{2}}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} (2 ζ^{2} - 1) + ю_{0}^{4}} \\ Д "=" - ф_{0} \frac{2 ю ю_{0} ζ}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} (2 ζ^{2} - 1) + ю_{0}^{4}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} x(t) & = \exp(-\zeta \omega_0 t) \left( A \sin \omega_d t + B \cos \omega_d t \right) + C \sin \omega t + D \cos \omega t \\ & \omega_d =\omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} \\ & C = f_0 \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 (2 \zeta^2-1)+\omega_0^4} \\ & D = -f_0 \frac{2\, \omega\, \omega_0\, \zeta}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 (2 \zeta^2-1)+\omega_0^4} \end{aligned}$
Передемпфированный, $\zeta > 1$ $\begin{aligned} Икс (т) & "=" опыт (- ζ ю_{0} т) (А грех ю_{д} т + Б чушь ю_{д} т) + С грех ю т + Д потому что ю т \\ ю_{д} "=" ю_{0} \sqrt{ζ^{2} - 1} \\ С "=" ф_{0} \frac{ю_{0}^{2} - ю^{2}}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} (2 ζ^{2} - 1) + ю_{0}^{4}} \\ Д "=" - ф_{0} \frac{2 ю ю_{0} ζ}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} (2 ζ^{2} - 1) + ю_{0}^{4}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} x(t) & = \exp(-\zeta \omega_0 t) \left( A \sinh \omega_d t + B \cosh \omega_d t \right) + C \sin \omega t + D \cos \omega t \\ & \omega_d =\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1} \\ & C = f_0 \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 (2 \zeta^2-1)+\omega_0^4} \\ & D = -f_0 \frac{2\, \omega\, \omega_0\, \zeta}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 (2 \zeta^2-1)+\omega_0^4} \end{aligned}$
Критически демпфированный, $\zeta = 1$ $\begin{aligned} Икс (т) & "=" Б опыт (- ю_{0} т) + С грех ю т + Д потому что ю т \\ ю_{д} "=" 0 \\ С "=" ф_{0} \frac{ю_{0}^{2} - ю^{2}}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} + ю_{0}^{4}} \\ Д "=" - ф_{0} \frac{2 ю ю_{0}}{ю^{4} + 2 ю^{2} ю_{0}^{2} + ю_{0}^{4}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} x(t) & = B \exp(-\omega_0 t) + C \sin \omega t + D \cos \omega t \\ & \omega_d = 0 \\ & C = f_0 \frac{\omega_0^2-\omega^2}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 +\omega_0^4} \\ & D = -f_0 \frac{2\, \omega\, \omega_0}{\omega^4+2 \omega^2 \omega_0^2 +\omega_0^4} \end{aligned}$

Обратите внимание, как, когда $\zeta>1$ знак изменяется при расчете затухающей частоты от $\omega_d = \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2}$ к $\omega_d =\omega_0 \sqrt{\zeta^2-1}$ . Кроме того, однородный отклик изменяется от $\sin$ и $\cos$ к $\sinh$ и $\cosh$ .

Все вышеперечисленные функции должны быть решены для $A$ и $B$ исходя из начальных условий $x(0) = x_0$ и $\dot{x}(0)=v_0$ .

Какова функция времени после переходного процесса в демпфированном гармоническом генераторе?

Фаусто Веццаро

Ответы (2)

сонный

Фаусто Веццаро

ДжейАлекс

Могут ли солдаты, марширующие с правильной частотой, реально сломать мост?

Почему выражения для тела, катящегося по склону, не зависят от коэффициента трения покоя?

Постоянная движения

Почему сила трения не действует на автомобиль?

Переворачивание колоды карт: почему карты группируются?

Общее решение системы массовых пружин

Какая минимальная сила необходима, чтобы сдвинуть этот брусок

Какие силы препятствуют движению ходьбы или бега?

Влияние трения на систему блоков

Тело вращается в воздухе и медленно падает на пол.