Общее решение системы массовых пружин

Это дифференциальное уравнение, описывающее малоамплитудные вертикальные колебания массы м который висит на пружине

г 2 Икс г т 2 + б м г Икс г т + к м Икс "=" 0
Где Икс определяется как смещение массы от положения равновесия, б постоянная затухания, т время и к - пружинная постоянная.

Я хочу найти общее решение для случая, когда возникает небольшое затухание. Я понимаю, что это происходит, когда константа затухания б 2 < 4 к м но я не уверен, как найти общее решение. Какие математические инструменты мне потребуются, чтобы найти решение, и помогут ли эти инструменты найти общее решение, если будет большое демпфирование или даже критическое демпфирование?

Привет, Эрни, я видел этот пример по гиперфизике, и хотя в нем есть пример того, как найти общее решение, мое уравнение немного отличается, и я не могу решить его даже методом подстановки.

Ответы (1)

Заменять Икс к А ( е ж т ) .

Таким образом, ваше уравнение становится:

А ( ж 2 ) ( е ж т ) + А ( б м ) ( ж ) ( е ж т ) + ( к м ) ( А ) ( е ж т ) "=" 0

Упрощение:

( ж 2 ) + ( б м ) ( ж ) + ( к м ) "=" 0

Узнать корни. Вот это ты понимаешь ( б 2 ) <= 4 к м для реальных значений ж .

Пусть корни будут ж 1 и ж 2

Наконец, ваше решение дифференциального уравнения:

Дело 1: ж 1 и ж 2 различаются:

Икс ( т ) "=" А ( е ж 1 т ) + Б ( е ж 2 т )
где А и Б являются произвольными константами.

Случай 2: ж 1 и ж 2 идентичны:

Икс ( т ) "=" А ( е ж 1 т ) + Б т ( е ж 1 т )
где А и Б являются произвольными константами.

Общее решение системы массовых пружин
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v