Какова именно энергетическая шкала процесса?

Можно дать как минимум два ответа, но оба, в конце концов, сводятся к одному и тому же: нет «правильного» способа зафиксировать энергетический масштаб процесса, но это не имеет значения, кроме того, что ваше возмущение теория, вероятно, сломается, если вы неправильно выберете шкалу.

Старый ответ : шкала перенормировки определяется произвольно, чтобы зафиксировать некоторые параметры теории в измеренных значениях и избавиться от бесконечности, например$\phi^4$скалярная связь$\lambda$иногда фиксируется просмотром$\phi^4$взаимодействие на канале$s^2 = 4\mu^2, t^2 = 0, u^2 = 0$, но вы могли бы также посмотреть на канал в$s^2=t^2=u^2=\mu^2$. Нам нужно просто взять любое условие, чтобы зафиксировать наши контрчлены и получить конечные ответы для наших амплитуд.

В общем случае шкала перенормировки не имеет реального значения, но если вы определите ее в каналах диаграммы, таких как$s^2=t^2=u^2=\mu^2$, то он будет отражать «типичную» энергетическую шкалу процесса. При выполнении перенормированной теории возмущений контрчлены в лагранжиане будут зафиксированы условиями перенормировки и дадут конечные ответы для амплитуд независимо от того, как выбран масштаб. Однако, если вы имеете дело с процессами, которые имеют каналы, сильно отличающиеся от масштаба, пертурбативные поправки начинают расти невероятно быстро, так что вы ничего не выигрываете, имея амплитуды, которые «теоретически» не зависят от масштаба, и это побуждает искать бегущие связи. - имея возможность варьировать масштаб перенормировки, не выполняя явное возмущение порядка за порядком на диаграмме, мы экономим много усилий.

Современный вильсонианский ответ : квантовая теория поля по своей сути рассматривается как эффективная теория , обладающая присущим ей обрезанием по импульсу.$\Lambda_0$. Это больше не «шкала», с которой мы делаем какие-то махинации, потому что хотим избавиться от бесконечности, это свойство теории , говорящее вам, насколько высоки возбужденные импульсы. Фурье-моды квантовых полей буквально отсекаются выше этого масштаба, и мы рассматриваем меру интеграла по путям (которая «определяется» предельным процессом на решетке) как содержащую только меры для импульсов ниже$\Lambda_0$.

«Перенормировка» теперь означает, что мы можем интегрировать еще больше мод Фурье, переходя к новой границе отсечки.$\Lambda<\Lambda_0$, что делает их связями в вильсоновском эффективном действии , а не динамическими объектами теории. Затем$\Lambda$Очевидно, что это масштаб, выше которого мы не ожидаем возбуждения многих мод полей, это действительно порядок импульсов, возникающих в процессе.

Возможно, немного разочаровывает ваш вопрос, такой взгляд на отсечку по своей сути является приблизительным , и нет точного способа получить «энергетическую шкалу процесса» - но опять же, это не имеет значения, поскольку все Перенормировка меняет способ работы нашей теории возмущений, используя взаимосвязи , и мы снова, в принципе, свободны выбирать любой вид масштаба процесса в качестве масштаба перенормировки, но если вы возьмете тот, который сильно отклоняется от интуитивного смысла «порядок импульсов в процессе» слишком велик, вам снова будет неинтересно пытаться получить контрчлены пертурбативно.

Вы идете в центр масс кадра, чтобы найти это$\sum_i \vec{p}=\vec{0}$, и полный вектор импульса 4, таким образом, равен

$$P_{\text{tot}}^{\mu}=\left(\frac{1}{c}\sum_{i}E_i^{\text{COM}}, \vec{0}\right)$$ то мы определяем шкалу энергии ковариантно как $\mu=\sqrt{-s}$куда $s$переменная Мандельштама $s\equiv P_{\text{tot}}^{\mu}P_{\text{tot}\mu}$в единицах $c=1$, так что в COM кадре $$\mu = \sum_i E_i^{\text{COM}} = \sum_i \frac{m_{oi} c^2}{\sqrt{1 - v_i^{\text{COM }2}/c^2}}$$