Почему в выводе этого волнового уравнения стоит знак минус?

Относительный знак — это не просто условность. Как только вы решите, что$E$представлен$i\hbar \partial/\partial t$, в формуле должен быть знак минус$p$, а именно$p=-i\hbar \partial / \partial x$. Или наоборот.

В первую очередь должно быть$i$или$-i$во всех формулах, потому что$\partial/\partial x$является антиэрмитовым оператором (из-за знака минус при интегрировании по частям), и нам нужны эрмитовы операторы (с действительными, измеренными собственными значениями) для энергии, импульса и других. Что насчет знаков?

Единственным соглашением о знаках, которое было принято на заре квантовой механики, было обозначение энергии; действительно, можно было бы заменить$i$к$-i$в этом уравнении, потому что$i$и$-i$играют ту же алгебраическую роль: обменивая$i$и$-i$является «внешним автоморфизмом» комплексных чисел. Но как только этот знак фиксируется, фиксируются и все остальные знаки. Это включает знаки минус в импульсе, угловом моменте, калибровочные преобразования, картину Шредингера, картину Гейзенберга, интеграл по траекториям Фейнмана и любую другую формулу квантовой механики. Есть только один способ определить квантовую механику с учетом классического предела (с его соглашениями о знаках), который нам нужно получить.

Относительный знак минус$p,E$может стать невидимым, если вы действуете только со вторыми производными — квадратом импульса, квадратом энергии, — но оно становится видимым, если вы действуете с первыми степенями операторов.

Волна де Бройля или волна, связанная с частицей, пропорциональна

$$\exp \left[ \frac{i}{\hbar} (\vec p\cdot \vec x-Et)\right]$$ Обратите внимание, что если вы дифференцируете по $x$и $t$, и умножить результат на $i\hbar$, Вы получаете $-p$и $E$, соответственно. (Опустите векторные знаки, если вы хотите просто одномерное пространство с одним $x$и один $p$.)

Относительный знак между$\vec p\cdot \vec x$и$Et$в приведенной выше формуле де Бройля физически необходимо, потому что только$Et - \vec p \cdot \vec x$является правильным лоренцевым скалярным произведением векторов$(E,\vec p)$и$(t,\vec x)$: относительный знак минус происходит от противоположных знаков пространства и времени в сигнатуре пространства-времени. Обратите внимание, что двойной относительный знак в$(E,\vec p)$и$(t,\vec x)$нельзя перевернуть, потому что в теории относительности$\vec pc^2/E$это скорость$\vec v$.

Приведенный выше аргумент относится к релятивистской интерпретации$E$. Однако нерелятивистская кинетическая энергия определяется просто как сдвинутая релятивистская энергия,

$$E_{\rm nonrel} = E_{\rm rel} - mc^2$$ поэтому коэффициент (и знак) перед $E$остается неизменным и $\vec p$совершенно неизменен. Можно также разработать связанные аргументы, анализируя, куда движется волна де Бройля. Чтобы он двигался в правильном направлении, в нем должен стоять знак минус. $Et-px$. Это связано с тем, что форма объектов, движущихся со скоростью $v$зависит только от $x-vt$потому что $x=vt$(без знака минус, который становится знаком минус, если вы переместите оба члена в одну и ту же сторону) — это уравнение для их центра масс.

Гиперповерхности постоянной фазы волны де Бройля ортогональны мировым линиям частиц, что определяет знак. Ведь максимумы и минимумы волн должны двигаться в том же направлении, что и сами частицы.

Да, если зависимость от времени записывается как$e^{-i\omega t}$, то другие признаки становятся определенными. Это соглашение в QM.

В физике плазмы иногда используют обратное соглашение для временного преобразования Фурье. В противоположном соглашении мнимая часть$\omega$"="$\omega' + i\omega''$описывает декремент затухания волны, если она положительна.