Какова интерпретация плотности электромагнитного спина Черна-Саймонса?

Угловой момент электромагнитного поля имеет следующее разложение:

$\mathbf{J} = \frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )= \frac{1}{4\pi c}\int d^3x\left [ \mathbf{E}\times \mathbf{A} + \sum_{j=1}^3 E_j(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})A_j \right]$

Это выражение появляется, например, в Джексоне: Классическая электродинамика (второе издание) в задаче: 7.19. Второй член можно интерпретировать как орбитальный угловой момент по следующим причинам: 1) Это средневзвешенное значение оператора углового момента:$(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})$, 2) Ее плотность тождественно равна нулю для плоской волны.

С другой стороны, плотность первого члена не зависит от положения в пространстве. Более того, во временной калибровке, где канонические скобки Пуассона:

$\left \{ E_i(\mathbf{x}), A_j(\mathbf{y}) \right \} = -i \hbar \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\delta_{ij}$

Первый срок$\frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )$, удовлетворяет коммутационным соотношениям углового момента (на уровне скобки Пуассона). Более того, на квантовом уровне этот член имеет собственное значение$+1$на левополяризованных фотонах и$-1$на правополяризованных фотонах. Таким образом, его можно интерпретировать как оператор спиральности.

Единственная трудность в приведенном выше разложении состоит в том, что оно не является калибровочно инвариантным (только компоненты, поскольку полный угловой момент калибровочно инвариантен). Это общее свойство релятивистских систем.

Полный угловой момент - это нётеров заряд группы вращения.$SO(3)$. Таким образом, ковариантизация «спиновой плотности» будет нётеровым зарядом группы Лоренца.$SO(3, 1)$.

Теперь спин является квантовым явлением в том контексте, что его квантование не может быть объяснено классически. Но у него есть семена в классической теории. Как известно, безмассовые релятивистские частицы соответствуют малой группе Вигнера.$E(2)$. Более точное описание дает теория коприсоединенных орбит, где безмассовые частицы соответствуют орбите:$(SO(3,1) \rtimes R(4))/(E(2) \times U(1)) = \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3 - 0)$, см. arxiv:0912.218 автор: Каринена, Грация-Бондиа, Лиззи, Мармоб и Витале. Коприсоединенная орбита описывает физические степени свободы (после сокращения всей калибровочной свободы), в случае безмассовой частицы 3 координаты положения и 3 координаты импульса, за исключением нулевого импульса, который не допускается для безмассовой частицы. Коприсоединенная орбита имеет симплектическую структуру и полностью описывает классическую динамику свободной безмассовой частицы. Есть только определенные значения (коэффициента) симплектической структуры, для которых коприсоединенная орбита может быть проквантована. Этот коэффициент оказывается спиральностью, и после его квантования частица приобретает спиральность. Это процесс преквантованияв нашем случае. Она находится на границе между классической и квантовой, и некоторые люди считают ее частью классической теории. На самом деле, мы много работаем в этом контексте, например, при расчете классической статистической суммы спиновой системы мы используем тот факт, что спин квантуется, но ничего другого из квантовой теории, поэтому мы работаем в рамках предварительного квантования.

Осевой вектор вращения ЭМ поля

В контексте алгебры Пуанкаре мы можем рассмотреть$C^\mu$как вектор электромагнитного поля Паули Любански.

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&& \\ & \mbox{transl.} & \mbox{Lorentz} & \mbox{rotation} & \mbox{boost} & \mbox{Pauli Lubanski vect.} \\ \hline &&&&& \\ \mbox{Poincaré:} & P^\mu & J^{\mu\nu} & J^i & K^i & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ &&&&& \\ \hline &&&&& \\ \\ \mbox{e.m. field:} & A^\mu & F^{\mu\nu} & B^i & E^i & \,C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ &&&&& \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Он преобразуется как осевой вектор в релятивистской калибровке Лоренца, что является абсолютным требованием для того, чтобы выражение считалось спином электромагнитного поля.

$C^\mu$содержит более знакомое выражение$\epsilon_o\vec{E}\times\vec{A}$но сам по себе этот член не является 4-вектором и не преобразуется правильно даже в калибровке Лоренца. Есть очень интересная переписка$C^\mu$с аксиальным вектором фермионного поля:

$$\begin{equation} j_\circlearrowleft^\mu\ =\ \frac{iq_e}{2m}\ {\bar \psi}\gamma^\mu\gamma^5\psi \end{equation}$$

Который мы можем считать вектором Паули-Любанского фермионного поля, если мы произведем на нем разложение Гордона. Мы получаем:

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ & \mbox{Pauli Lubanski vector} \\ \hline & \\ \mbox{Poincaré:} & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ \\ \\ \mbox{e.m. field:} & C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ \\ \\ \psi-\mbox{field:} & j_\circlearrowleft^\mu~=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,M_{\alpha\beta}\,j_\nu \\ \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Где$M^{\mu\nu}$- тензор намагниченности электронного поля, определяемый формулой.

$$\begin{equation} M^{\mu\nu} ~=~ \left(\frac{\mu_e}{2mc}\right)~\mbox{ $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$} ~=~ \left( \begin{array}{cccc} 0 & ~~P_x & ~~P_y & ~~P_z \\ -P_x & 0 & - M_z & ~~M_y \\ -P_y & ~~M_z & 0 & - M_x \\ -P_z & - M_y & ~~M_x & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

и$j_\nu$дается скоростью изменения фазы$\partial^\nu\phi$поля$\psi$.

В http://physics-quest.org/Book_Chapter_EM2_ChernSimonsSpin.pdf я вычисляю$C^\mu$для некоторых элементарных случаев и показать, что он имеет значения, которые мы можем ожидать от него.

Ганс

Я ломал голову над этим же вопросом пару лет назад, когда читал в сети статью Де Вриса. Я только предполагаю, но я думаю, что это в основном сводится к (например, для одного электрона):

1. преобразование спинора в эквивалентное векторное поле путем объединения его с плотностью заряда; и,

2. рассматривая результирующее векторное поле как ротор плотности тока.

Другими словами, комбинируя две спинорные компоненты волновой функции, вы получаете спиновую плотность в каждой точке пространства, которая на самом деле имеет свойство быть векторным полем, потому что в дополнение к направлению (это все, что вы получаете со спинорной ) у вас есть величина, которая исходит из локальной плотности заряда. Если вы возьмете антизавиток этого векторного поля, вы получите плотность тока.

Результирующая плотность тока — это то, что Де Врис называет Черном-Саймоном. Я думаю.