Вопрос об операторе релятивистского спина

Ответ основан на следующей ссылке (глава$V$, страницы$5,6$)

Под релятивистским спиновым оператором я думаю, что это означает поиск выражения для$3$размерный оператор$\vec S$, такой как$S^2 = \frac{1}{m^2} W^\mu W_\mu$(Здесь ,$W_\mu$представляет собой (псевдо)четырехвектор Паули-Любанского ) с обычным$SU(2)$коммутационное соотношение для$S_i$. Так$S^2$является отношением двух Казимиров и должно коммутировать со всеми образующими.

С некоторыми дополнительными предположениями, что$\vec S$преобразовать как (псевдо)вектор (уравнение$(74)$страница$5$Ref), и что$\vec S$коммутируют с оператором импульса, можно найти некоторое выражение для оператора$\vec S$(см. формулы$(75),(76),(77)$страница$5$ссылки).

Преобразование Лоренца не является тривиальным для$\vec S$, см. формулу$(92)$страница$6$исх.

Трудность с маркировкой состояний с помощью$J ^2$это действительно потому, что это не очень хорошее квантовое число в разных системах отсчета.

Требуя от оператора,${\cal O}$, вы хотите описать ваши состояния, коммутирующие с гамильтонианом, который вам требуется, чтобы

$$\begin{equation} \left[ P ^0 , {\cal O} \right] = 0 \end{equation}$$ Однако, ${\cal O}$может не совпадать при разных значениях импульса (т. е. не очень хорошая метка, если мы хотим рассматривать разные системы отсчета). В КТП нам нужны состояния, которые можно описать во всех системах отсчета. Таким образом, мы требуем $$\begin{equation} \left[ P ^\mu , {\cal O} \right] = 0 \end{equation}$$ В вашем случае оператор $J ^2$не коммутирует с пространственными компонентами импульсов, $$\begin{equation} \left[ P ^i , J ^2 \right] \neq 0 \end{equation}$$ так что это бесполезный ярлык в релятивистской теории. Обратите внимание, что если собственные значения $P _i$очень малы, можно показать, что $J^2$действительно коммутирует с импульсами, так что это хороший ярлык в квантовой механике.

Вместо этого вы можете расширить идею$J^2$к$W_\mu W ^\mu$как упоминал Тримок.