Могут ли массы двигаться в гравитации 2+1?

Я хотел бы понять основные концепции общей теории относительности в пространстве-времени 2+1. Насколько я знаю, ОТО предсказывает, что такое пространство-время является плоским везде, кроме точечных масс, которые создают угловой дефицит, пропорциональный их массе. Флатландия с одной точечной массой похожа на поверхность конуса. Я предполагаю, что при добавлении других точечных масс Флатландию можно свернуть в (выпуклый) многогранник (тогда есть ограничение на общие массы, поскольку общий угловой дефицит составляет 720 градусов) (см. примечание № 1). Я предполагаю, что двумерный флатландец не заметит (по крайней мере локально) пересечение ребер при переходе от одной грани многогранника к другой.

Проблема, с которой я сталкиваюсь в этой модели, заключается в том, что когда одно тяжелое тело, определяющее Флатландию, приводится в движение, его масса должна измениться и, что более удивительно с местной точки зрения, также должны измениться массы соседних тел, чтобы общая сумма составила 720 градусов. . На изображении показан куб, вершина которого перемещается по ребру к его середине с соответствующими угловыми дефицитами.

С другой стороны, я знаю, что гравитация 2+1 и движение точечных масс серьезно рассматривались Готтом (в его двухструнной машине времени), Кэроллом, Гутом, т'Хофтом и другими. Где ошибка в моей наивной модели?

Отредактировано : Учитывая первый ответ и комментарии, я, возможно, должен быть более точным:

Возможно ли движение, которое требует изменения углового дефицита (и, следовательно, массы) окружающих точечных масс, или возможно только движение, когда все угловые дефициты остаются постоянными? Так или иначе, для Флатэндера, живущего на поверхности многогранника, ситуация выглядит так, будто существует взаимодействие между точечными массами, несмотря на то, что пространство-время между ними плоское. Или такая конфигурация (начальное условие) просто невозможна?

Отредактировано : я упустил из виду тот факт, что точечная масса не может быть просто «приведена в движение» чудом - общий импульс должен сохраняться . Я подумаю и подготовлю лучший пример.

Отредактировано : эти документы 't Hooft могут содержать ответ:

Эволюция гравитирующих точечных частиц в измерениях 2+1 (pdf)

Трехмерная гравитация Эйнштейна: динамика плоского пространства (pdf)

введите описание изображения здесь

Примечания (добавлены в более поздних редакциях):

1) Готт и Альперт: Общая теория относительности в (2+1)-мерном пространстве-времени (Gen. Relat. Gravit. 16:243-247, 1984):

«Рассмотрите выпуклый многогранник с конечным числом граней. Грани и ребра не имеют внутренней кривизны и представляют собой решения уравнений вакуумного поля. Каждая вершина имеет дефицит угла (как вершина конуса) и представляет собой точечные массы. Для Например, вселенная, имеющая форму поверхности куба, представляет собой вакуум с 8 точечными массами М знак равно π / 2 каждый (три квадрата встречаются в каждой вершине, что дает каждому угловой дефицит π / 2 ). Статическая вселенная Эйнштейна уравнения (6) может быть аппроксимирована многогранником многих граней, содержащих множество вершин, каждая из которых имеет небольшой дефицит угла. Полная масса в такой замкнутой Вселенной всегда М ты знак равно 4 π ."

На мой взгляд, есть также некоторые невыпуклые многогранники, которые хорошо работают.

Многогранник - это своего рода частный случай (потому что он подразумевает конечный объем). Почему бы не рассмотреть первые две точечные частицы с небольшим угловым дефицитом. Это может быть отображено на 2D-плоскость (умноженное на время) с двумя вырезанными срезами (и склеенными вдоль линии разреза).
@user23660 user23660 Потому что в таком случае есть только верхний предел общего углового дефицита и, следовательно, массы (в открытой Флатландии): 360 градусов (в противном случае вы не сможете развернуть Флатландию без перекрытия). Тогда я понимаю, что две частицы могут свободно двигаться.
Итак, вы спрашиваете, будет ли компактность мультиконического пространства-времени (т.е. многогранника) подразумевать дополнительные ограничения?
@user23660 user23660 Думаю, да :-)
Для минимального случая 4 частиц (тетраэдр) угловой дефицит вершин определяет тетраэдр вплоть до масштабирования. Единственным допустимым движением является расширение (или сжатие) тетраэдра (своего рода космологическое расширение).
Но добавление пятой частицы также добавляет две дополнительные степени свободы: есть деформации, отличные от масштабирования (сохранение дефицита). Ваш пример куба имеет еще больше степеней движения (например, масштабирование по одной оси). Таким образом, мы можем предположить, что большее количество частиц (и меньший дефицит для каждой) означает большее количество степеней движения, поэтому в пределе бесконечного числа частиц количество степеней свободы на частицу будет таким же, как и в негравитирующем случае (2 градуса на частицу). ).
Ой! Поразмыслив, я понял, что у тетраэдра действительно есть 3-параметрическая деформация, которая сохраняет угловой дефицит вершин (один параметр соответствует преобразованию подобия). Затем добавление каждой следующей вершины добавляет еще две степени свободы.
@user23660 user23660 В некотором смысле минимальный многогранник имеет 3 вершины - представьте себе тетраэдр, сплющенный до нулевого объема - четвертая вершина имеет угловой дефицит 0, другими словами, вы можете удалить ее.
Да, и для этой системы из 3-х частиц единственно допустимой эволюцией является космологическое расширение с линейной зависимостью масштабного фактора от времени ( а ( т ) знак равно С ( т − т 0 ) ).
@ user23660 Почему возможна только линейная эволюция?
Потому что нет сил менять скорость. Этот аспект полностью эквивалентен открытому кейсу.

Ответы (1)

Дифференциальная геометрия предсказывает, что тензор Вейля обращается в нуль в 2+1 измерениях. Общая теория относительности предсказывает, что кривизна Риччи исчезает в вакууме, то есть при отсутствии сил на расстоянии. Таким образом, ускорение из-за гравитации все еще может существовать в трехмерном пространстве-времени, но только в области с ненулевым тензором энергии-импульса.

Похоже, что вопрос ОП сформулирован в терминах дискретного пространства-времени в стиле Редже, поэтому в этом контексте его утверждение о том, что пространство-время плоское везде, кроме вершин, несущих точки массы, было бы правильным?
@ twistor59: Конечно, да, поскольку тензор SEM не исчезает в этих точках.
Боюсь, я не совсем понимаю ответ, но мне кажется, что ваши рассуждения не ограничиваются замкнутой Флатландией (где суммарная сумма угловых дефицитов равна 720 градусам). Означает ли это, что машина времени Готта, использующая две космические струны, невозможна просто потому, что струны (которые здесь аналогичны точечной массе или вершинам) не могут двигаться друг относительно друга?
Я не вижу причин, стоящих за фразой «Итак, отвечая на ваш вопрос, массы не смогут двигаться, если они не находятся где-то, например, внутри Земли» . Почему для перемещения масса должна находиться в каком-то искривленном пространстве-времени? Точечная частица может двигаться в плоском пространстве-времени независимо от наличия гравитации вообще, и особый тип такой гравитации не должен исключать такого движения (просто менять взаимодействия между такими частицами).
@ user23660: О, да, ты прав. Я имел в виду, что они не могут разгоняться из-за гравитации, я это исправил.
@LeosOndra: Верно. Это применимо ко всем 2+1 мерным пространствам-временям.
Ну а в случае нормального ГР, р мю ν знак равно 0 в точке P не подразумевает плоской геометрии в этой точке. И на самом деле объекты хорошо ускоряются в областях, где р мю ν знак равно 0 .
@AlexeyBobrick: Но в 2+1 р мю ν знак равно 0 подразумевает р мю ν λ р знак равно 0 . Итак, геометрия плоская .
Возможно, мне следует уточнить, что меня интересует не ускоренное движение из-за наличия других точечных масс, а возможность любого движения.
@LeosOndra: Такое движение возможно даже для выпуклого многогранника, пока есть достаточное количество вершин, просто количество степеней свободы будет меньше, чем в открытом (некомпактном) пространстве.
@LeosOndra: я не вижу проблемы с общим движением. У вас есть движение в специальной теории относительности просто отлично. Если вы беспокоитесь о прерывности, вам не обязательно нужны острые края в вашем распределении материи, вы можете сделать так, чтобы функция и произвольное количество производных красиво шли к нулю на границе вашего распределения материи.
Могут ли массы двигаться в гравитации 2+1?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v