Какова причина этих аргументов в QFT?

В книге «Квантовая теория поля и стандартная модель» при вычислении диаграмм поляризации вакуума в скалярной КЭД и после нескольких страниц в КЭД автор использует махающие рукой аргументы для вычисления некоторых интегралов, которые я действительно не могу понять .

Первый такой:

Добавление диаграмм дает

$$i\Pi^{\mu\nu}_2=-e^2\int \dfrac{d^4k }{(2\pi)^4}\dfrac{-4k^\mu k^\nu+2p^\mu k^\nu+2p^\nu k^\mu-p^\mu p^\nu+2g^{\mu\nu}[(p-k)^2-m^2]}{[(p-k)^2-m^2+i\epsilon][k^2-m^2+i\epsilon]}$$

К счастью, нам не нужно вычислять весь интеграл. Глядя на то, какую возможную форму он может иметь, мы можем выделить часть, которая внесет вклад в поправку к закону Кулона, и просто вычислить эту часть. По лоренц-инвариантности наиболее общая форма, которую$\Pi^{\mu\nu}_2$мог бы быть

$$\Pi^{\mu\nu}_2=\Delta_1(p^2,m^2)p^2 g^{\mu\nu}+\Delta_2(p^2,m^2)p^\mu p^\nu$$

После обсуждения отношения между$\Pi^{\mu\nu}_2$и одетый пропагатор$G^{\mu\nu}$автор пишет это как (в калибровке Фейнмана)

Затем он говорит, что:

Далее обратите внимание, что$\Delta_2$термин - это просто смена калибра - он дает поправку на нефизический параметр калибра$\xi$в ковариантных калибровках. С$\xi$выпадает из любого физического процесса в силу калибровочной инвариантности, поэтому$\Delta_2$. Таким образом, нам нужно только вычислить$\Delta_1$. Это означает извлечение члена, пропорционального$g^{\mu\nu}$в$\Pi^{\mu\nu}$.

Большинство членов амплитуды в уравнении (16.24) не может дать$g^{\mu\nu}$. Например,$p^\mu p^\nu$срок должен быть пропорционален$p^\mu p^\nu$и поэтому может только способствовать$\Delta_2$, поэтому мы можем игнорировать его. Для$p^\mu k^\nu$срок, мы можем тянуть$p^\mu$вне интеграла, поэтому, что бы ни давал оставшийся интеграл, он должен обеспечивать$p^\nu$по лоренц-инвариантности. Так что эти термины тоже можно игнорировать. $k^\mu k^\nu$срок важен - он может дать$p^\mu p^\nu$часть, но также может дать$g^{\mu\nu}$часть, то, что мы ищем. Поэтому нам нужно только рассмотреть

$$\Pi^{\mu\nu}_2=ie^2\int\dfrac{d^4k}{(2\pi)^4}\dfrac{-4k^\mu k^\nu+2g^{\mu\nu}[(p-k)^2-m^2]}{[(p-k)^2-m^2+i\epsilon][k^2-m^2+i\epsilon]}$$

У меня тут три проблемы:

1. Сначала я не могу понять, почему$\Pi^{\mu\nu}_2$должна иметь такую ​​форму. С$p$появляется в интеграле как параметр, я понимаю, что$\Pi^{\mu\nu}_2$является функцией$p$, но почему он должен иметь такой вид и какое отношение он имеет к лоренц-инвариантности, я никак не могу понять. Аргумент о том, что «поскольку единственная доступная вещь$p^\mu$единственные два тензора с индексами, которые мы можем построить, это$g^{\mu\nu}$и$p^\mu p^\nu$"мне кажется маханием руками.

2. Во-вторых, я не могу понять, почему, основываясь на калибровочной инвариантности, автор опускает$\Delta_2$срок. Я имею в виду, что он просто обнуляет кучу интегралов, для меня это не имеет особого смысла. Я имею в виду, что он принимает все термины, которые способствуют$\Delta_2$и сделать каждую из них равной нулю по отдельности. Почему просто их сумма не может быть равна нулю? В чем здесь смысл?

3. Наконец, я не могу понять его анализ того, какие термины можно обнулить на основе бросания$\Delta_2$вне. Я знаю, что если мы$p^\mu p^\nu$интеграл будет скаляром, умножающим его, но почему интеграл с единицей$p^\mu$вынесенное за скобки должно по лоренц-инвариантности давать нечто, пропорциональное$p ^\nu$?