Путаница в предположениях, сделанных в формуле сокращения LSZ

Question

Путаница в предположениях, сделанных в формуле сокращения LSZ

пользователь35305

Я читал вывод формулы сокращения LSZ ( http://www2.ph.ed.ac.uk/~egardi/MQFT_2013/ , лекция 2, страницы 2-3), и я немного сбит с толку. аргументы в пользу предположений:

\begin{aligned} ⟨ Ом | ф (Икс) | Ом ⟩ & "=" 0 \\ ⟨ к | ф (Икс) | Ом ⟩ & "=" е^{я к \cdot Икс} \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle &=0\\ \langle\mathbf{k}\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle &=e^{ik\cdot x} \end{aligned}$

Для обоих предположений автор сначала связывает $\phi(x)$ к $\phi(0)$ с помощью 4-импульсного оператора $P^{\mu}$ , т.е.

ф (Икс) "=" е^{я п \cdot Икс} ф (0) е^{- я п \cdot Икс}

$\phi(x)=e^{iP\cdot x}\phi(0)e^{-iP\cdot x}$ так что в случае первого предположения

⟨ Ом | ф (Икс) | Ом ⟩ "=" ⟨ Ом | е^{я п \cdot Икс} ф (0) е^{- я п \cdot Икс} | Ом ⟩ "=" ⟨ Ом | ф (0) | Ом ⟩

$\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle =\langle\Omega\vert e^{iP\cdot x}\phi(0)e^{-iP\cdot x}\vert\Omega\rangle =\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ где мы использовали, что вакуумное состояние удовлетворяет

P^{μ} | Ω ⟩ = 0

$P^{\mu}\lvert\Omega\rangle =0$ , такой, что

e^{- i P \cdot x} | Ω ⟩ = | Ω ⟩

$e^{-iP\cdot x}\vert\Omega\rangle = \vert\Omega\rangle$ .

Чего я не понимаю, так это зачем нам общаться $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle$ к $\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ в первую очередь? Оба $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle$ и $\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ являются лоренц-инвариантными.

Просто ли потому, что, показав, что для любого $x^{\mu}$ , $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle$ равно лоренц-инвариантному числу , $v\equiv\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ (в принципе $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle$ может иметь разное значение для каждой точки пространства-времени $x^{\mu}$ ), тогда мы можем просто сдвинуть поле $\phi(x)\rightarrow \phi(x)-v$ , такое, что условие $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle=0$ удовлетворен? (Если это так, то я предполагаю, что аргумент аналогичен второму условию.)

Ответы (1)

Путаница в предположениях, сделанных в формуле сокращения LSZ

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Формула LSZ основана на следующих предположениях:

Существует вектор $|\Omega\rangle$ что удовлетворяет $P^\mu|\Omega\rangle=J^{\mu\nu}|\Omega\rangle=0$ .
Поле преобразуется по некоторому представлению группы Пуанкаре, т. е. удовлетворяет условию
$U (а, Λ) ф (Икс) U (а, Λ)^{†} "=" Д (Λ) ф (Λ Икс + а)$ $U(a,\Lambda)\phi(x)U(a,\Lambda)^\dagger=D(\Lambda)\phi(\Lambda x+a)$ где $a\in\mathbb R^4$ и $\Lambda\in SO(1,d)^+$ , и $U (а, Λ) \equiv е^{- я п_{мю} а^{мю}} е^{- я ю_{мю ν} {Дж}^{мю ν}}$ $U(a,\Lambda)\equiv\mathrm e^{-iP_\mu a^\mu}\mathrm e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}}$
Существует некоторый вектор $|\boldsymbol p,\sigma\rangle$ что удовлетворяет $P^\mu|\boldsymbol p,\sigma\rangle=p^\mu|\boldsymbol p,\sigma\rangle$ такой, что $m^2\equiv p^2$ является изолированным собственным значением $P^2$ .
Поле $\phi(x)$ удовлетворяет $\langle \Omega|\phi(x)|\Omega\rangle=0$ .
Поле $\phi(x)$ удовлетворяет $\langle \Omega|\phi(x)|\boldsymbol p,\sigma\rangle \neq 0$ .
Некоторые другие допущения, не относящиеся к данному посту (например, если в системе имеется четко определенное понятие зарядового сопряжения, то $\phi(x)$ должен ездить с $\mathscr C$ и аналогично для других внутренних симметрий).

Если $(2)$ удовлетворен, и $D(\Lambda)$ является нетривиальным представлением группы Лоренца, то $(4)$ выполняется автоматически; т. е. нет необходимости навязывать это допущение как отдельное условие. Поэтому в этом ответе мы ограничимся тривиальными представлениями ЛГ, т. е. скалярным представлением, где $\phi(x)$ является скалярным полем.

В случае скалярных полей $\langle \Omega|\phi(x)|\Omega\rangle$ является лоренц-инвариантным независимо от того, обращается он в нуль или нет. Но нам нужно убедиться, что он исчезает, потому что $(4)$ является необходимым условием для формулы LSZ. Поэтому, чтобы убедиться, что оно исчезает, мы отмечаем следующее: как обсуждалось в OP, это число удовлетворяет

⟨ Ом | ф (Икс) | Ом ⟩ "=" ⟨ Ом | ф (0) | Ом ⟩

$\langle \Omega|\phi(x)|\Omega\rangle=\langle \Omega|\phi(0)|\Omega\rangle$

Поэтому, если по какой-то причине $\langle \Omega|\phi(x)|\Omega\rangle$ отличен от нуля, мы переопределяем поле $\phi(x)$ через

ф (Икс) \to ф (Икс) - ⟨ Ом | ф (0) | Ом ⟩

$\phi(x)\to\phi(x)-\langle \Omega|\phi(0)|\Omega\rangle$ что не портит ни одно из условий

1, 2, 3, 5, 6

$1,2,3,5,6$ при условии, что они уже были удовлетворены исходным полем, но это гарантирует, что

4

$4$ удовлетворяется, по построению.

Что касается второго условия, то рассуждение таково: если мы используем $\langle \Omega|U(a,\Lambda)=\langle \Omega|$ и $U(a,\Lambda)^\dagger|\boldsymbol p\rangle=\mathrm e^{ipa}|\Lambda\boldsymbol p\rangle$ , то всегда можно написать

\begin{aligned} ⟨ Ом | ф (Икс) | п ⟩ & "=" ⟨ Ом | \overset{1}{\overset{⏞}{U (Икс, Λ) U (Икс, Λ)^{†}}} ф (Икс) \overset{1}{\overset{⏞}{U (Икс, Λ) U (Икс, Λ)^{†}}} | п ⟩ \\ "=" \overset{⟨ Ом |}{\overset{⏞}{⟨ Ом | U (Икс, Λ)}} \overset{ф (0)}{\overset{⏞}{U^{†} (Икс, Λ) ф (Икс) U (Икс, Λ)}} \overset{е^{я п Икс} | Λ п ⟩}{\overset{⏞}{U (Икс, Λ)^{†} | п ⟩}} \\ "=" ⟨ Ом | ф (0) | Λ п ⟩ е^{я п Икс} \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle \Omega|\phi(x)|\boldsymbol p\rangle&=\langle \Omega|\overbrace{U(x,\Lambda)U(x,\Lambda)^\dagger}^1\phi(x)\overbrace{U(x,\Lambda)U(x,\Lambda)^\dagger}^1|\boldsymbol p\rangle\\ &=\overbrace{\langle \Omega|U(x,\Lambda)}^{\langle \Omega|}\overbrace{U^\dagger(x,\Lambda)\phi(x)U(x,\Lambda)}^{\phi(0)}\overbrace{U(x,\Lambda)^\dagger|\boldsymbol p\rangle}^{\mathrm e^{ipx}|\Lambda\boldsymbol p\rangle}\\ &=\langle\Omega|\phi(0)|\Lambda\boldsymbol p\rangle\mathrm e^{ipx} \end{aligned}$

Если мы сейчас установим $x=0$ , мы видим, что это означает, что

⟨ Ом | ф (0) | п ⟩ "=" ⟨ Ом | ф (0) | Λ п ⟩

$\langle\Omega|\phi(0)|\boldsymbol p\rangle=\langle\Omega|\phi(0)|\Lambda\boldsymbol p\rangle$ т.е. матричный элемент

⟨ Ω | ϕ (0) | p ⟩

$\langle\Omega|\phi(0)|\boldsymbol p\rangle$ является скаляром; но единственная скалярная функция

p

$\boldsymbol p$ является

p^{2} = m^{2}

$p^2=m^2$ , и поэтому этот матричный элемент есть просто константа, не зависящая от

p

$\boldsymbol p$ :

⟨ Ом | ф (Икс) | п ⟩ "=" с е^{я п Икс}

$\langle \Omega|\phi(x)|\boldsymbol p\rangle=c\, \mathrm e^{ipx}$

Наконец, если, как в $(5)$ , мы предполагаем, что $\langle \Omega|\phi(x)|\boldsymbol p\rangle \neq 0$ , затем $c\neq 0$ и мы всегда можем переопределить $\phi(x)$ так что $c=1$ ; и, опять же, это не портит ни одно из условий $1,2,3,4,6$ .

Спасибо за подробный ответ. Так что дело в том, что можно показать, что $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\Omega\rangle$ , значение которого в принципе может быть разным в каждой точке пространства-времени $x^{\mu}$ , фактически равна константе $\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ $\forall\;x^{\mu}$ , и поэтому мы можем просто сдвигать поле в каждой точке пространства-времени на $\phi(x)-\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\Omega\rangle$ ?!
@user35305 user35305 да, это правильно. Заметьте также, что в этом нет ничего особенного. $x=0$ ; мы могли бы также сместить поле на $\phi(x)-\langle\Omega|\phi(\infty)|\Omega\rangle$ или любой другой момент, потому что $\langle\Omega|\phi(x)|\Omega\rangle$ не зависит от $x$ . Следовательно, мы можем установить $x$ до любого другого удобного значения.
Я предполагаю, что это причина, почему один переводит $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\mathbf{p}\rangle$ и $\langle\Omega\vert\phi(0)\vert\mathbf{p}\rangle$ также?! Как вы указали в своем ответе, выполнив эту процедуру, можно показать, что $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\mathbf{p}\rangle$ является скаляром Лоренца, поэтому мы можем снова использовать эту информацию для переопределения $\phi(x)$ чтобы убедиться, что $\langle\Omega\vert\phi(x)\vert\mathbf{p}\rangle =e^{ip\cdot x}$ .

Путаница в предположениях, сделанных в формуле сокращения LSZ

пользователь35305

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь35305

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь35305

Амплитуда рассеяния не инвариантна относительно малой группы?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Какова причина этих аргументов в QFT?

Как взаимодействующий вакуум |Ω⟩|Ω⟩|\Omega \rangle входит в теорию?

Преобразование Лоренца лестничных операторов

Почему вакуум-вакуумная амплитуда?

S-операторная лоренц-инвариантность

Почему антикоммутативности спиноров недостаточно в качестве «теоремы о спиновой статистике»?

Почему релятивистские волновые функции должны преобразовываться при преобразовании Лоренца, а не Пуанкаре?

Понимание операции прецессии Томаса