Какова точная связь между антиматерией и относительностью?

Чтобы лучше понять эту связь, лучше всего проследить историю открытий, сделанных на заре квантовой теории поля.

Начнем с уравнения Шрёдингера:

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t, {\bf x}) = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(t, {\bf x}).$$

Он описывает квантовую ньютоновскую частицу. Стандартная терминология состоит в том, чтобы использовать слово «классический» для «не квантового» и «ньютоновский» для «нерелятивистского».

Уравнение Шредингера в вакууме решается легко. Его решения представляют собой плоские волны

$$\Psi_{\bf k}(t, {\bf x}) = e^{-i E({\bf k}) t + i {\bf k} {\bf x}},$$

где$E({\bf k}) = {\bf k}^2 / 2m$— ньютоновская формула энергии частицы. Волна не нормализуема, что сигнализирует о том, что реальные физические состояния представляют собой суперпозиции волн, на которые наложены дополнительные ограничения (соответствующее подпространство$L_2(\mathbb{R}^3)$называется пространством Соболева, оно состоит из экспоненциально затухающих на пространственной бесконечности волновых функций).

Тем не менее, существует прямая физическая интерпретация одиночной волны.$\Psi_{\bf k}$– это собственное состояние оператора импульса с собственным значением${\bf k}$. Так он описывает частицу положительной энергии$E$и импульс${\bf k}$. Все идет нормально.

Но уравнение Шрёдингера, несмотря на огромный успех, имеет большую концептуальную проблему — оно не является релятивистским.

Теперь есть релятивистское волновое уравнение, называемое уравнением Клейна-Гордона:

$$\frac{\partial^2}{c^2\,\partial t^2} \Psi(t, {\bf x}) - \Delta \Psi(t, {\bf x}) + m^2 \Psi(t, {\bf x}) = 0.$$

Увидеть, что это уравнение является релятивистским, просто — вы просто переписываете его как

$$\left( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + m^2 \right) \Psi = 0,$$

которое явно лоренц-инвариантно.

Как понять его решения? Каковы решения?

Ну и очевидной стратегией было бы подключить плоскую волну$\Psi_{{\bf k}, E}$. Вы обнаружите, что это действительно решение уравнения Клейна-Гордона, если

$$E({\bf k}) = \pm c \sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2},$$

выражение, в котором вы могли бы легко найти собственную формулу Эйнштейна для релятивистской зависимости энергии от импульса.

Таким образом, у нас есть хороший предел$c \rightarrow \infty$в которой специальная теория относительности становится ньютоновской физикой. Конечно, то, что происходит на самом деле,$k \ll m c$, что оправдывает установку$c$к$\infty$так как это намного больше, чем типичный масштаб измерения$m/s$который$k/m$.

Но теперь этот предел, о котором мы уже знали из вводного курса специальной теории относительности, проявляется в квантовой теории. Например, теперь это предел волн:

$$e^{-ic\sqrt{{\bf k}^2 + m^2 c^2} + i {\bf k} {\bf x}} \rightarrow e^{-i m c^2 t} e^{-i c t {\bf k}^2 / 2m + i {\bf k} {\bf x}}.$$

Это здорово – у нас есть нерелятивистский предел в квантовой теории, так что уравнение Клейна-Гордона можно считать самым глубоким и фундаментальным описанием частицы (потому что оно и квантовое, и релятивистское), но... Мы полностью проигнорировали другой класс решений – с$E$отрицательное (вспомните странное$\pm$знак перед квадратным корнем?).

Решения с отрицательной энергией не имеют ньютоновских аналогов. Таких мы просто не встретили, когда анализировали уравнение Шредингера! В то же время они широко распространены в специальной теории относительности — их существование можно проследить до одного из самых известных кинематических тождеств, объединяющих всю современную физику, — формулы Эйнштейна.

$$E^2 - {\bf k}^2 c^2 = m^2 c^4.$$

Действительно, эта формула квадратична по$E$, и, таким образом, если$E_0$это решение, то так$-E_0$.

Как интерпретировать эти решения? Что значит для частицы иметь отрицательную энергию и почему это не наблюдалось в экспериментах?

Дирак рассматривал другое волновое уравнение, которое описывает частицу со спином$1/2$. Это в основном аналогично Клейну-Гордону: ньютоновская версия для спина.$1/2$также существует (называемое уравнением Паули), и уравнение Дирака допускает решения с положительной и отрицательной энергией, из которых решения с положительной энергией имеют хорошую интерпретацию в терминах решений уравнения Паули в ньютоновском пределе, а отрицательные решения - нет. Так что проблема по сути та же.

Но есть одно важное отличие – частицы Дирака являются фермионами, т.е. они подчиняются статистике Ферми-Дирака, а значит, и принципу запрета Паули. Это можно понять только в многочастичной теории, на уровне одночастичной теории обменной статистики не существует.

Это привело Дирака к гипотезе о том, что состояния с отрицательной энергией уже идеально заполнены в том, что мы называем вакуумом (результирующий объект называется морем Дирака). В то время это было единственным хорошим решением проблемы существования состояний с отрицательной энергией. Но существование моря означает, что так же, как состояния с положительной энергией, которые не заполнены в вакууме, могут быть заполнены (что мы интерпретируем как отдельные электроны), состояния с отрицательной энергией, которыезаполненный вакуумом, может быть освобожден. Получившаяся «дырка» будет вести себя точно так же, как электрон, за исключением того, что все ее квантовые числа будут инвертированы (потому что на самом деле это дырка, т. е. отсутствие ожидаемого электрона). Это включает в себя его энергию и электромагнитный заряд. Но поскольку это состояние с отрицательной энергией, дырка на самом деле будет вести себя как частица с положительной энергией и зарядом — позитрон.

Удивительно, как мало картина изменилась с тех пор. Если вы посмотрите на современную формулировку релятивистской КТП электронов, то ее фоковское пространство будет иметь точно такую ​​же структуру, как море Дирака. Это фоковское пространство порождено алгеброй ферми-квантованных операторов рождения/уничтожения электронов и позитронов. Одним из свойств квантования Ферми является то, что пустое и заполненное состояния находятся в равном положении, а это означает, что материя и антиматерия находятся в равном положении в КТП.

Несколько иначе обстоит дело с исходной задачей – с уравнением Клейна-Гордона. Он описывает частицы со спином 0, которые являются бозонами, поэтому в нашем распоряжении нет принципа запрета Паули, и конструкция моря Дирака не работает.

Довольно поразительно, оказывается, что решение QFT все еще работает. Бозонное фоковское пространство порождается бозе-квантованными операторами рождения/уничтожения частиц и античастиц.

Наконец, как мы можем убедиться, что полученная теория не содержит частиц с отрицательной энергией? Мы смотрим на гамильтониан самой КТП, а не на гамильтониан отдельной частицы:

$$H = \sum_{\bf k} \left( E_{\bf k} a_{\bf k}^{\dagger} a_{\bf k} + E_{\bf k} b_{\bf k}^{\dagger} b_{\bf k} \pm \frac{1}{2} \right)$$

где$a$и$b$- операторы уничтожения частиц и античастиц соответственно, а$\pm$соответствует бозонному/фермионному случаю соответственно (для поля Дирака понимается сумма по спиновым индексам). Легко показать, что вакуумное состояние$\left| 0 \right>$КТП (определяемой как состояние, аннигилированное всеми$a$и$b$) является состоянием с наименьшей энергией, что означает, что$H$ограничен снизу.

Следовательно, в КТП нет состояний с отрицательной энергией. Вместо этого есть античастицы. Античастицы — это многочастичные проявления существования растворов с отрицательной энергией, которые широко распространены в специальной теории относительности.

Надеюсь, что это ответ на ваш вопрос.