Зарядовое сопряжение в уравнении Дирака

Уравнение Дирака для частицы с зарядом$e$является

$$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) - m \right] \psi = 0$$ Мы хотим знать, можем ли мы построить спинорную $\psi^c$с противоположным зарядом от $\psi$. Это будет подчиняться уравнению $$\left[\gamma^\mu (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^c = 0$$ Если вы знаете о калибровочных преобразованиях $$\psi \rightarrow \exp\left( i e \phi\right) \psi$$ (вместе с компенсирующим преобразованием для $A_\mu$, что нам здесь не нужно), это говорит о том, что нужно делать комплексное сопряжение: $$\psi^\star \rightarrow \exp\left( i (-e) \phi\right) \psi^\star$$ Так это выглядит $\psi^\star$имеет противоположный заряд. Возьмем комплексно-сопряженное уравнение Дирака: $$\left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] \psi^\star = 0$$ К сожалению, это не то, что мы хотим. Но помните, что спиноры и $\gamma$матрицы определены только с точностью до смены базиса $\psi \rightarrow S \psi$а также $\gamma^\mu \rightarrow S \gamma^\mu S^{-1}$. Возможно, мы сможем найти замену базиса, которая приведет уравнение Дирака к нужному нам виду. Ввести обратимую матрицу $C$умножая слева и подставляя $1 = C^{-1}C$(Обратите внимание, что $C$это более распространенное обозначение для вашего $\tilde{U}$): $$\begin{array}{lcl} 0 &= & C \left[-\gamma^{\mu\star} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C^{-1} C\psi^\star \\ &= & \left[-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} (i\partial_\mu + e A_\mu) - m \right] C\psi^\star \end{array}$$

Заметим, что если мы сможем найти$C$который подчиняется$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$тогда$C\psi^\star$является отличным кандидатом на$\psi^c$! Оказывается, действительно можно построить$C$удовлетворяющие условию, и определим зарядовое сопряжение как

$$\psi \rightarrow \psi^c = C\psi^\star$$

Вы можете увидеть это более явно в терминах двухкомпонентных спиноров в базисе Вейля:

$$\psi = \left( \begin{matrix} \chi_\alpha \\ \eta^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ (обозначение следует за томом по теме ). Зарядово-сопряженный спинор в этом представлении равен $$\psi^c = \left( \begin{matrix} \eta_\alpha \\ \chi^{\dagger}_{\dot{\alpha}} \end{matrix} \right)$$ Итак, зарядовое сопряжение есть $$\eta \leftrightarrow \chi$$ Это представление явно выявляет две противоположно заряженные компоненты спинора Дирака, $\eta$а также $\chi$, и показывает, что зарядовое сопряжение действует путем их перестановки.

Напомним: мы хотим определить операцию зарядового сопряжения так, чтобы при заданном$\psi$с некоторым электрическим зарядом$e$, мы можем получить$\psi^c$с зарядом$-e$. Комплексное сопряжение уравнения Дирака приводит нас к этому, но полученный спинор$\psi^\star$находится в другом спинорном базисе, поэтому уравнение Дирака не имеет стандартной формы. Вводим смену базиса$C$чтобы вернуть уравнение Дирака к стандартной форме. Необходимые условия для того, чтобы это работало, состоят в том, что$C$обратим (иначе это не было бы изменением базиса и случилось бы что-то плохое) и$-C\gamma^{\mu\star}C^{-1} = \gamma^\mu$.

Ключевым моментом здесь является то, что гамма-матрицы задаются своими коммутационными отношениями, и они не определяют уникальное представление для матриц.

Если исходить из уравнения Дирака

$$\gamma^\mu (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi = m \Psi$$

и выполните следующее общее преобразование$\Psi = U \Psi'$с$U$постоянная матрица с обратной$UU^{-1}=1$уравнение становится

$$\gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m U \Psi'$$

умножение на обратную матрицу

$$U^{-1} \gamma^\mu U (i\partial_\mu - e A_\mu) \Psi' = m \Psi'$$

это эквивалентно исходному уравнению, если$\gamma^\mu{'} = U^{-1} \gamma^\mu U$. Это соотношение гарантирует, что новые матрицы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и исходные.

Что касается конкретного случая зарядового сопряжения, я думаю, что наиболее фундаментальный подход использует теорему CPT. В этом случае четность тривиальна, поэтому остается зарядовое сопряжение (C) и обращение времени (T). Уравнение Дирака инвариантно, если и знак заряда, и время поменялись местами. Это основа интерпретации Штукельбергом-Фейнманом античастиц как частиц, путешествующих назад во времени.