Преобразование Лоренца спинорного поля

Question

Преобразование Лоренца спинорного поля

Охотник

Я читаю главу 3 Пескина и Шредера и застрял на странице 43 P&S. Они определили генераторы Лоренца в спинорном представлении как:

С^{мю ν} знак равно \frac{я}{4} [γ^{мю}, γ^{ν}]

$\begin{equation} S^{\mu \nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu] \end{equation}$ такое, что конечное преобразование задается выражением:

Λ_{1 / 2} знак равно е^{- \frac{я}{2} ю_{мю ν} С^{мю ν}}

$\begin{equation} \Lambda_{1/2}=e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} S^{\mu \nu}} \end{equation}$ куда

γ^{μ}

$\gamma^\mu$ гамма-матрицы и

ω_{μ ν}

$\omega_{\mu \nu}$ являются элементами вещественной и антисимметричной матрицы. Согласно P&S на стр. 43 (между уравнениями (3.32) и (3.33), они говорят, что сопряженный спинор Дирака преобразуется следующим образом:

ψ^{†} \to ψ^{†} (1 + \frac{я}{2} ю_{мю ν} (С^{мю ν})^{†})

$\begin{equation} \psi^\dagger \rightarrow \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}(S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{equation}$ Тем не менее, я ожидаю, что преобразование будет:

\begin{aligned} ψ^{†} & \to ψ^{†} {(1 - \frac{я}{2} ю_{мю ν} С^{мю ν})}^{†} \\ знак равно ψ^{†} (1 + \frac{я}{2} (ю_{мю ν})^{†} (С^{мю ν})^{†}) \\ знак равно ψ^{†} (1 - \frac{я}{2} ю_{мю ν} (С^{мю ν})^{†}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$ где в последней строке я использовал тот факт, что

ω

$\omega$ — вещественная и антисимметричная матрица:

(ю_{мю ν})^{†} знак равно (ю_{мю ν})^{Т} знак равно ю_{ν мю} знак равно - ю_{мю ν}

$\begin{equation} (\omega_{\mu \nu})^\dagger = (\omega_{\mu \nu})^T = \omega_{\nu \mu} = - \omega_{\mu \nu} \end{equation}$ Это означает, что, согласно моим расчетам, уравнение (3.33) P&S на самом деле должно быть:

\bar{ψ} \to \bar{ψ} Λ_{1 / 2}

$\begin{equation} \overline{\psi} \rightarrow \overline{\psi} \Lambda_{1/2} \end{equation}$ Это уравнение должно быть неправильным, потому что оно означает, что

\bar{ψ} ψ

$\overline{\psi} \psi$ не преобразуется как скаляр, и поэтому лагранжиан Дирака неверен. Однако я не знаю, в чем моя ошибка, и надеялся, что кто-то может мне помочь?

джошфизика

исправил "кинжалы"; вам просто нужно использовать команду \dagger вместо \dag.

Ответы (2)

Преобразование Лоренца спинорного поля

исправил "кинжалы"; вам просто нужно использовать команду \dagger вместо \dag.

джошфизика · Answer 1

Ошибка, которую вы совершаете, заключается в том, что вы «забиваете» объект $\omega_{\mu\nu}$ . Для каждого $\mu, \nu = 0,\dots 3$ , символ $\omega_{\mu\nu}$ является действительным числом, поэтому его крестик (который в данном случае представляет собой просто комплексное сопряжение) ничего не делает; $(\omega_{\mu\nu})^\dagger = \omega_{\mu\nu}$ .

Когда мы говорим, что $\omega_{\mu\nu}$ является антисимметричной вещественной матрицей, мы действительно имеем в виду, что матрица с этими числами в качестве компонентов является такой матрицей, а не $\omega_{\mu\nu}$ это матрица для каждого $\mu$ а также $\nu$ .

Это правда только потому, что $\omega_{\mu \nu}$ (т.е. матричные элементы) стягивается с соответствующей матрицей $S^{\mu \nu}$ ? Или это всегда правда, что вы говорите?
@Hunter Всегда бывает так, что каждый $\omega_{\mu\nu}$ является действительным числом для каждого $\mu$ а также $\nu$ , и поэтому всегда верно, что кинжал каждого из этих парней - это он сам.

Зохаиб Аарфи · Answer 2

Последний шаг, который вы выполнили, неверен.

\begin{aligned} ψ^{†} & \to ψ^{†} {(1 - \frac{я}{2} ю_{мю ν} С^{мю ν})}^{†} \\ знак равно ψ^{†} (1 + \frac{я}{2} (ю_{мю ν})^{†} (С^{мю ν})^{†}) \\ знак равно ψ^{†} (1 - \frac{я}{2} ю_{мю ν} (С^{мю ν})^{†}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$

ω

$\omega$ реально, просто означает, что

(ю_{мю ν})^{†} знак равно ю_{мю ν}

$\begin{equation} (\omega_{\mu \nu})^\dagger = \omega_{\mu \nu} \end{equation}$ Итак, у нас есть

\begin{aligned} ψ^{†} & \to ψ^{†} {(1 - \frac{я}{2} ю_{мю ν} С^{мю ν})}^{†} \\ знак равно ψ^{†} (1 + \frac{я}{2} (ю_{мю ν})^{†} (С^{мю ν})^{†}) \\ знак равно ψ^{†} (1 + \frac{я}{2} ю_{мю ν} (С^{мю ν})^{†}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \psi^\dagger & \rightarrow \psi^\dagger \left(1-\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu}S^{\mu \nu} \right)^\dagger \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} (\omega_{\mu \nu})^\dagger (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \\& = \psi^\dagger \left(1+\frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} (S^{\mu \nu})^\dagger \right) \end{aligned} \end{equation}$ Чтобы найти лоренц-инвариантность

\bar{ψ} ψ

$\bar\psi\psi$ вам не хватает

\bar{ψ} = ψ^{†} γ^{0}

$\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$ . Когда это

γ^{0}

$\gamma^0$ проходит через

S^{μ ν}

$S^{\mu\nu}$ это решает проблему. Решите ее и поделитесь с нами снова.

Преобразование Лоренца спинорного поля

Охотник

джошфизика

Ответы (2)

джошфизика

Охотник

джошфизика

джошфизика

Зохаиб Аарфи

Унитарное преобразование Лоренца на квантованном спиноре Дирака

Более общее соотношение полноты для спиноров Дирака

Природа полей в КТП

Путаница с массовым членом Дирака

Коммутирует ли оператор рождения/уничтожения со спинорами?

Зарядовое сопряжение в уравнении Дирака

Компоненты спинорного поля Вейля

Может ли существовать псевдовекторный кинетический термин для фермионов?

Интерпретация компонентов спинора Дирака в киральном представлении?

Как инвариантная скорость света закодирована в SL(2,C)SL(2,C)SL(2, \mathbb C)?