Унитарное преобразование Лоренца на квантованном спиноре Дирака

Я снова застрял на странице 59 Пескина и Шредера. В частности, я не знаю, как они получают уравнение (3.110). Позвольте мне сначала дать некоторые сведения о том, как я это понимаю (но я могу быть совершенно неправ).

Унитарный оператор U ( Λ ) действует на состояния следующим образом:

| п , с ⟩ → U ( Λ ) | п , с ⟩
и, следовательно, любой оператор, такой как поле Дирака, преобразуется как:
ψ ′ ( Икс ) "=" U ( Λ ) ψ ( Икс ) U − 1 ( Λ )
Теперь из уравнения (3.109):
U ( Λ ) а п с U − 1 ( Λ ) "=" Е Λ п Е п а Λ п с
мы можем найти преобразование решения положительной частоты ψ :
U ( Λ ) ψ U − 1 ( Λ ) "=" U ( Λ ) ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п ∑ с а п с ты с ( п ) е − я п ⋅ Икс U − 1 ( Λ )
⇒ U ( Λ ) ψ U − 1 ( Λ ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п ∑ с U ( Λ ) а п с U − 1 ( Λ ) U ( Λ ) ты с ( п ) U − 1 ( Λ ) е − я п ⋅ Икс
и с использованием уравнения (3.109) это становится:
⇒ U ( Λ ) ψ U − 1 ( Λ ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п 2 Е Λ п ∑ с а Λ п с U ( Λ ) ты с ( п ) U − 1 ( Λ ) е − я п ⋅ Икс
и с этого момента я понятия не имею, как перейти к уравнению (3.110). Если кто-нибудь может подтолкнуть меня в правильном направлении, то это будет очень признательно. (Мне известно, что мера интегрирования лоренц-инвариантна.)

Другой вопрос: есть ли у кого-нибудь другие ссылки/заметки/книги, где обсуждаются преобразования квантованного поля оператора Дирака ? Я нахожу объяснение P&S совершенно запутанным (как, возможно, стало ясно из вопросов, которые я недавно задавал на этом форуме :) ), но я не могу найти никакой другой книги, в которой рассматриваются эти вещи.

Закон трансформации А → А "=" U ( Λ ) А U − 1 ( Λ ) для операторов, но ты с ( п ) не является оператором, а является коэффициентом перед операторами создания или уничтожения.
@JiaYiyang спасибо, что поправили меня! Я отредактировал пост; надеюсь сейчас лучше.
Вы читали, что авторы говорят между 109 и 110? В вашем последнем уравнении U ты U − 1 просто ты с ты это просто число. Затем просто выполните замену переменных п ~ "=" Λ п как они сказали.
Спасибо за ваш ответ. Не могли бы вы объяснить мне, почему ты с ( п ) это просто число? Я думал, что это спинор Дирака (4-компонентный вектор), который также зависит от п (и, следовательно, я думаю, что преобразование Лоренца повлияет на это). Работая в предположении, что ты с ( п ) это просто число, то я вижу, как я могу добраться до:
U ( Λ ) ψ U − 1 ( Λ ) "=" ∫ д 3 п ~ ( 2 π ) 3 1 2 Е п ~ ∑ с а п ~ с ты с ( Λ − 1 п ~ ) е − я п ~ ⋅ Λ Икс . Однако я не понимаю, почему ты с ( Λ − 1 п ~ ) "=" Λ 1 / 2 − 1 ты с ( п ~ ) . Они вывели это где-то в своей книге? Или я могу вывести его, рассматривая бесконечно малые преобразования Λ 1 / 2 − 1 ? Или есть что-то еще, что мне не хватает?
Я был схематичным. Для каждого с и каждый п , символ ты с ( п ) является числом таким же образом, как компоненты Е я ( Икс ) электрического поля являются числами для каждого я и Икс . Что касается другого факта, я не уверен, что они доказывают его где-либо в книге, но это тот тип мыслей, который вы действительно должны попытаться доказать самостоятельно. Я думаю, вам не нужно апеллировать к бесконечно малым преобразованиям, но я не пытался доказать это сам. Попробуйте, и я бы предложил задать еще один вопрос, если вы не можете понять это.
@joshphysics, спасибо, вы даете мне много пищи для размышлений. Я постараюсь найти решение или, может быть, отложу это до тех пор, пока не начну читать Вайнберга. Я хотел бы задать вам еще один вопрос о том, почему [ U ( Λ ) , ты с ( п ) ] "=" 0 . Извините, если это банально, но я не понимаю, почему ты с ( п ) это число для данного п и с (хотя я понимаю, почему это верно для Е я ( Икс ) ). Я думал, что для данного с и п , ты с ( п ) по-прежнему является четырехкомпонентным вектором-столбцом. Единственная причина, по которой я мог догадаться, почему они ездят на работу, заключается в том, что ты с ( п ) «живет» в другом пространстве, чем то, где
матрица U ( Λ ) действует. Это правда, или я говорю ерунду?
Нет, вы совершенно правы; Я был небрежен, как и Пескин и Шредер со своими обозначениями. Они действительно должны написать спинорный индекс на ψ так что преобразование читается U ( Λ ) ψ α ( Икс ) U − 1 ( Λ ) "=" ( Λ 1 2 − 1 ) α β α ψ β ( Λ Икс ) . То, что они написали, является лишь сокращением этого полного выражения. Это означает, что в интеграле будет ( ты с ( п ) ) α которые являются числами, а затем вычисления выполняются по желанию.
Спасибо чувак! Это многое для меня проясняет и имеет смысл. Единственное, чего я не понимаю на данный момент, это почему ты с ( Λ − 1 п ~ ) "=" Λ 1 / 2 − 1 ты с ( п ~ ) , но я поработаю над этим сам и если не разберусь, то задам как отдельные вопросы. Ваше здоровье
Без проблем. Ваше здоровье! Кстати, если вы не комментируете плакат вопроса или ответа, вы должны указать @username. В противном случае он не получит уведомление о комментарии.
@Hunter, ты все понял, почему? ты с ( Λ − 1 п ′ ) "=" Λ 1 2 ты с ( п ′ ) ? На самом деле я только что задал это как новый вопрос час назад. Затем я нашел этот, просматривая старые вопросы, ожидая ответа. Как только я увидел (3.110) в вашем описании, я понял, о чем это будет!
@ Flint72 ха-ха, нет, я так и не понял. Как только я увидел ваш вопрос, я сразу же добавил его в закладки, но, похоже, Робин Экман дал хороший ответ (хотя мне нужно рассмотреть его более подробно). Невероятно, как P&S иногда просто волшебным образом записывают формулы без каких-либо объяснений.

Ответы (1)

Вы можете найти закон преобразования для ты с ( п ) потребовав, чтобы спинорное поле преобразовывалось как

ψ ( Икс ) → ψ ′ ( Икс ′ ) "=" U − 1 ( Λ ) ψ ( Икс ′ ) U ( Λ ) "=" Λ 1 / 2 ψ ( Икс ) .

Вы уже знаете, как трансформируются операторы рождения/аннигиляции из условия, что 1-частичные состояния трансформируются правильно, и тогда вы можете найти правильный закон преобразования для ты с ( п ) . Затем, вооружившись этим законом преобразования, вы можете произвести преобразование в обратном направлении (что и делают Пескин и Шредер) и получить их результат.

В частности, у нас есть

U − 1 ( Λ ) ψ ( Икс ′ ) U ( Λ ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п U − 1 ( Λ ) а п с † U ( Λ ) ты с ( п ) е я п . Λ Икс + похожие термины

где я проигнорировал суммирование и другой оператор, поскольку он аналогичен этому.

Изменение фиктивной переменной п к Λ п мы получаем

U − 1 ( Λ ) ψ ( Икс ′ ) U ( Λ ) "=" ∫ г 3 Λ п ( 2 π ) 3 1 2 Е Λ п U − 1 ( Λ ) а Λ п с † U ( Λ ) ты с ( Λ п ) е я п . Икс

с ( Λ п ) ( Λ Икс ) "=" п Икс

У нас также есть U − 1 ( Λ ) а Λ п с † U ( Λ ) "=" 2 Е п 2 Е Λ п а п с † давая нам

U − 1 ( Λ ) ψ ( Икс ′ ) U ( Λ ) "=" ∫ г 3 Λ п ( 2 π ) 3 2 Е п 2 Е Λ п а п с † ты с ( Λ п ) е я п . Икс

Мера лоренц-инвариантна, поэтому мы можем переписать ее как

U − 1 ( Λ ) ψ ( Икс ′ ) U ( Λ ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п а п с † ты с ( Λ п ) е я п . Икс

Теперь мы требуем, чтобы это равнялось

Λ 1 / 2 ψ ( Икс ) "=" Λ 1 / 2 ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п а п с † ты с ( п ) е я п . Икс

и мы сразу видим, что у нас должно быть

ты с ( Λ п ) "=" Λ 1 / 2 ты с ( п ) .

Теперь вы можете применить обратное преобразование, ψ ( Икс ) → U ( Λ ) ψ ( Икс ) U − 1 ( Λ ) чтобы получить результат, который есть у Пескина и Шредера.

Извините, но ваш ответ неверен. Ошибка возникает из-за преобразования оператора рождения, в котором отсутствует вигнеровское вращение из маленькой группы для частиц со спинами. Весь смысл в спинах.
@TwoBs Вращение Вигнера не играет роли, когда мы ускоряемся в направлении вращения или вращаемся вокруг оси вращения, как это рассматривают Пескин и Шредер.
ок, я вижу, вы ограничились тривиальным случаем. Из вашего ответа ничего не было ясно. Не могли бы вы отредактировать свой ответ и добавить, что вы ограничиваетесь таким случаем. Особенно в выводе о законе спинорного преобразования, который не является общим. (Или еще лучше, добавьте общий). После ваших правок я также смогу удалить минус
Унитарное преобразование Лоренца на квантованном спиноре Дирака
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v