Существует ли «квадратный корень» уравнения Клейна – Гордона, отличный от уравнения Дирака?

Легенда гласит, что Дирак пришел к уравнению Дирака (все уравнения даны в планковских единицах).$c= \hbar = 1$в этом посте):

$$i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi =0$$ извлекая квадратный корень из оператора $$\partial^\mu\partial_\mu$$ уравнения Клейна – Гордона, которое является релятивистской версией уравнения Шрёдингера: $$(\partial^\mu\partial_\mu + m^2)\psi =0$$

Однако является ли уравнение Дирака единственным «квадратичным корнем» уравнения Клейна – Гордона? Существует ли другой «квадратный корень» уравнения Клейна – Гордона?

Оказывается, есть «квадратный корень» уравнения Клейна – Гордона, который отличается от уравнения Дирака:

$$i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - me^{\theta i\gamma_5} \psi = 0$$ где «комплексный» массовый член фермиона наделен как CP-четной скалярной частью, так и CP-нечетной псевдоскалярной частью.$i\gamma_5$часть: $$m e^{\theta i\gamma_5} = m\cos\theta + m i\gamma_5 \sin\theta .$$

Можем ли мы проверить, что приведенное выше «модифицированное» уравнение Дирака действительно является «квадратичным корнем» уравнения Клейна-Гордона? Давайте разберемся в мелочах:

$$m^2\psi \\ = (me^{-\theta i\gamma_5}) (me^{\theta i\gamma_5})\psi \\ = (me^{-\theta i\gamma_5}) (i\gamma^\mu\partial_\mu)\psi \\ = (i\gamma^\mu\partial_\mu) (me^{\theta i\gamma_5}) \psi \\ =(i\gamma^\mu\partial_\mu)(i\gamma^\nu\partial_\nu) \psi \\ = -\partial^\mu\partial_\mu\psi.$$ Вуаля! Мы действительно восстанавливаем классическое уравнение Клейна-Гордона без каких-либо забавных «сложных» факторов. Обратите внимание, что в 4-й строке мы использовали важнейшее антикоммутативное свойство между$\gamma_5$и$\gamma^\mu$.

Может ли кто-нибудь проверить правильность или неправильность приведенного выше вывода? Или это на самом деле то же самое, что и исходное уравнение Дирака?

---

Добавлено примечание

Забавный факт, что после осевого вращения фермионного поля

$$\psi \rightarrow e^{-\frac{1}{2}\theta i\gamma_5} \psi.$$ «комплексный» массовый член в лагранжевом формате можно преобразовать в скалярный массовый член (оставив кинетический член нетронутым): $$m\bar{\psi} e^{\theta i\gamma_5} \psi \rightarrow m\bar{\psi} \psi.$$ Другими словами, путем переопределения фермионного поля СР-нечетная часть массы$m i\gamma_5 \sin\theta$можно эффективно отвернуть. При этом мы знаем, что фермионная масса генерируется с помощью механизма Хиггса. Вращение к «настоящей» массе достижимо, если есть только один бозон Хиггса. Если вы представляете себе какую-то фантазию, выходящую за рамки стандартной модели, включающей несколько бозонов Хиггса, то указанное вращение может сделать CP только одного бозона Хиггса четным, в то время как другой бозон Хиггса останется с псевдоскаляром, нарушающим CP.$i\gamma_5$фаза.

Конечно, эти сценарии с несколькими бозонами Хиггса обычно не рассматриваются в книгах по КТП начального уровня. Таким образом, «модифицированное» уравнение Дирака обычно вообще не упоминается. Но неужели вы думаете, что в обычных учебниках по QFT это должно упоминаться просто для развлечения?

Если вы рассматриваете правые и левые спиноры отдельно (например, спиноры Вейля), у вас будет больше свободы в осевых вращениях без явного вызова псевдоскаляра. Это именно то, что происходит в ротациях, связанных с CKM. Но в случае трех поколений еще недостаточно свободы, чтобы компенсировать все псевдоскаляры в параметрах смешивания семейств, поэтому у вас остается остаточная фаза, нарушающая СР, в электрослабом секторе.

Короче говоря, наиболее общим аналогом уравнения Клейна – Гордона с «квадратичным корнем» является уравнение Дирака с «комплексным» массовым членом.$m e^{\theta i\gamma_5} \psi$. Уравнение Дирака для «реальной» массы — это всего лишь частный случай$\theta = 0$.

---

Еще добавлено примечание:

Отдельно стоит вопрос о скалярном массовом члене.

$$m\bar\psi \psi$$ быть мнимым, если вы подставите компоненты числа Грассмана из$\psi$и$\bar\psi$. Подробнее см. здесь .