Какова траектория частицы под действием постоянной угловой силы, всегда перпендикулярной вектору ее положения?

Question

Какова траектория частицы под действием постоянной угловой силы, всегда перпендикулярной вектору ее положения?

qfzklm

Это вопрос классической механики, связанный с проблемой центральной силы, но на самом деле отличный от нее.

Уравнение движения можно выразить следующим образом в полярных координатах:
$\ddot{р} - р {\dot{θ}}^{2} "=" 0 р \ddot{θ} + 2 \dot{р} \dot{θ} "=" \frac{Ф}{м}$ $\ddot{r}-r\dot{\theta}^2=0 \\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=\frac{F}{m}$ с начальным условием нулевой скорости (любым, просто для упрощения): $р (0) "=" р_{0}, θ (0) "=" 0, \dot{р} (0) "=" 0, \dot{θ} (0) "=" 0.$ $r(0)=r_0,\ \theta(0)=0,\ \dot{r}(0)=0,\ \dot{\theta}(0)=0.$

Однако у меня нет таланта аналитически решать это уравнение. Вы можете помочь мне?

Конечно, знаменитый первый интеграл в задаче о центральной силе — угловом моменте — не помогает ее решить. Я считаю, что у траектории есть имя, я имею в виду какую-то осмысленную кривую, но я не могу ее найти.

Также мне любопытно, может ли эта проблема сопоставляться с любой реальной физической системой? Это может помочь решить ее.

Напцер

Вы можете решить ее численно, если хотите получить представление о том, как выглядит кривая, и не знаете, как ее точно решить.

Том Б.

Вы имеете в виду перпендикуляр к его вектору скорости?

Кнчжоу

@Фарчер Нет. Этот вопрос — рутинное упражнение. Это сложная система дифференциальных уравнений. Это не имеет ничего общего с равномерным круговым движением.

qfzklm

@Napzer Спасибо за ваш комментарий. Конечно, я знаю, как решить ее численно, и я действительно это сделал.

qfzklm

Из численного расчета я знаю, что радиус (r) увеличивается очень быстро. Это на самом деле ничего не помогает, и я думаю, кривой почерка достаточно, чтобы знать форму траектории.

Ответы (1)

Какова траектория частицы под действием постоянной угловой силы, всегда перпендикулярной вектору ее положения?

Вы можете решить ее численно, если хотите получить представление о том, как выглядит кривая, и не знаете, как ее точно решить.
Вы имеете в виду перпендикуляр к его вектору скорости?
@Фарчер Нет. Этот вопрос — рутинное упражнение. Это сложная система дифференциальных уравнений. Это не имеет ничего общего с равномерным круговым движением.
@Napzer Спасибо за ваш комментарий. Конечно, я знаю, как решить ее численно, и я действительно это сделал.
Из численного расчета я знаю, что радиус (r) увеличивается очень быстро. Это на самом деле ничего не помогает, и я думаю, кривой почерка достаточно, чтобы знать форму траектории.

Кнчжоу · Answer 1

Это определенно соответствует физической системе: рассмотрим массу внутри полубесконечной трубы без трения с одним концом в начале координат. Ваша ситуация соответствует вращению трубы так, что нормальная сила, действующая на массу, постоянна. Из этой установки интуитивно ясно, что это имеет тенденцию отталкивать массу от начала координат.

Я сталкивался с такой установкой раньше, но с постоянным крутящим моментом, что, вероятно, было бы более реалистичным случаем. В этом случае это легко решить, потому что угловой момент увеличивается линейно во времени. Ваш случай сложнее. После устранения $\theta$ я прибыл в

3 \dot{р} \ddot{р} + р \overset{⃛}{р} "=" (р \ddot{р})^{1 / 2} \frac{Ф}{м}

$3 \dot{r} \ddot{r} + r \dddot{r} = (r \ddot{r})^{1/2} \frac{F}{m}$ из чего мы можем видеть, что одно решение

р (т) "=" \frac{Ф}{6 \sqrt{2} м} т^{2}

$r(t) = \frac{F}{6 \sqrt{2} m} \, t^2$ что также подразумевает, что

θ (t) \propto \log t

$\theta(t) \propto \log t$ . Но я не знаю, как решить ее для общих начальных условий.

У меня нет времени заниматься этим дальше, но одна техника, которую вы, возможно, захотите попробовать, — это комплексификация. То есть представить положение частицы в $xy$ плоскость как комплексное число $z$ . Тогда у вас есть только одно уравнение, $\ddot{z} \propto i z/|z|$ , что довольно просто. Надеюсь, кто-нибудь сможет закончить этот анализ!

Так это вопрос о траектории частицы в центрифуге?
@Farcher Да, но тот, который создает постоянную силу вместо постоянного крутящего момента, что немного странно.
Спасибо за быстрый ответ! Каким-то образом, когда я пытаюсь его решить, я стараюсь не повышать порядок этого дифференциального уравнения, потому что начальное условие как раз первого порядка. Как вы думаете, это необходимо, чтобы знать начальное условие второго порядка?
@qfzklm я просто пытался избавиться $\theta$ не нарушая порядок. В любом случае, учитывая ваши начальные условия, вы все равно можете найти мои начальные условия, так как первое уравнение дает $\ddot{r}$ напрямую, а их объединение дает $\dddot{r}$ .
Не обращайте внимания на реалистичный случай, просто в уравнении постоянный член справа может быть самым простым, не так ли? Я согласен с тем, что постоянный крутящий момент - действительно самый простой случай. Мне жаль, что я не понимал, что дело с постоянной силой настолько сложно.
К сожалению, ваше решение, похоже, не удовлетворяет начальному условию. Я постараюсь найти правильное решение. В любом случае, спасибо, что поделились этим временем.

Какова траектория частицы под действием постоянной угловой силы, всегда перпендикулярной вектору ее положения?

qfzklm

Напцер

Том Б.

Кнчжоу

qfzklm

qfzklm

Ответы (1)

Кнчжоу

Фарчер

Кнчжоу

qfzklm

Кнчжоу

qfzklm

qfzklm

Криволинейные координаты и базисные векторы

Преобразование координаты в лагранжиане

Как найти уравнения движения двухмерного гармонического осциллятора?

Найдите производящую функцию F1F1F_1 для канонического преобразования

Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

Определение того, какую производящую функцию использовать для канонического преобразования

Является ли H=T+UH=T+UH = T + U для маятника, движущегося по кругу?

Есть ли быстрый способ найти кинетическую энергию в сферических координатах?

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона