Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

Question

Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

пользователь 292868

Я увидел следующий вопрос в практическом листе и немного смущен:

Учитывая функцию Лагранжа $L=\frac{1}{2}\dot{r}^2 -\frac{a}{r^2}-b r^2$ , были $a$ и $b$ постоянны. Покажите, что новая функция Лагранжа $L'$ эквивалентно $L$ , были $L'$ является $L$ в новой переменной $s=\frac{1}{r}$

Итак, я вычислил уравнения Эйлера-Лагранжа для вышеуказанных случаев и пришел к следующему выводу:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\ddot{r}=2a\frac{1}{r^3}-2br= \frac{\partial L}{\partial r}$
$\frac{d}{dt} \frac{\partial L'}{\partial\dot{s}}=\frac{1}{\ddot{s}^3}=2as-2b\frac{1}{s^3}= \frac{\partial L'}{\partial s}$

Как мне теперь показать, что 1. и 2. эквивалентны?

РЕДАКТИРОВАТЬ: я отредактировал глупую ошибку (см. комментарии).

Дж. Г.

Запишите эти ELE соответственно как

f (r, \dot{r}, \ddot{r}) = 0, g (s, \dot{s}, \ddot{s}) = 0

$f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , затем перепишите

g

$g$ как функция

r, \dot{r}, \ddot{r}

$r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ с использованием

s = 1 / r ⟹ \dot{s} = - \dot{r} / r^{2}

$s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ и т. д.

ФродКуб

1 / {\ddot{s}}^{3}

$1/\ddot s^3$ определенно не равно

{\ddot{r}}^{3}

$\ddot r^3$ . Исправление этого должно дать вам правильный результат.

ФродКуб

У вас есть

\dot{r} = - \frac{\dot{s}}{s^{2}}

$\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (также буква L в вашем посте неверна) и

\ddot{s} = \frac{2 {\dot{r}}^{2} - r \ddot{r}}{r^{3}}

$\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$

ФродКуб

Теперь подставьте обратно

s

$s$ ,

\dot{s}

$\dot s$ и

\ddot{s}

$\ddot s$ с точки зрения

r

$r$ и его производные

Ответы (1)

Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

Запишите эти ELE соответственно как $f(r,\,\dot{r},\,\ddot{r})=0,\,g(s,\,\dot{s},\,\ddot{s})=0$ , затем перепишите $g$ как функция $r,\,\dot{r},\,\ddot{r}$ с использованием $s=1/r\implies\dot{s}=-\dot{r}/r^2$ и т. д.
$1/\ddot s^3$ определенно не равно $\ddot r^3$ . Исправление этого должно дать вам правильный результат.
У вас есть $\dot r = -\frac{\dot s}{s^2}$ (также буква L в вашем посте неверна) и $\ddot s=\frac{2\dot r^2 - r \ddot r}{r^3}$
Теперь подставьте обратно $s$ , $\dot s$ и $\ddot s$ с точки зрения $r$ и его производные

Дж. Г. · Answer 1

Во-первых, $L$ имеет ЭЛЭ

\ddot{р} "=" \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial \dot{р}} "=" \frac{\partial л}{\partial р} "=" \frac{2 а}{р^{3}} - 2 б р .

$\ddot{r}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=\frac{\partial L}{\partial r}=\frac{2a}{r^3}-2br.$ С

s = r^{- 1}

$\color{blue}{s=r^{-1}}$ ,

\dot{s} = - r^{- 2} \dot{r}

$\color{blue}{\dot{s}=-r^{-2}\dot{r}}$ и

\ddot{s} = 2 r^{- 3} {\dot{r}}^{2} - r^{- 2} \ddot{r}

$\color{blue}{\ddot{s}=2r^{-3}\dot{r}^2-r^{-2}\ddot{r}}$ , и

р "=" с^{- 1} ⟹ \frac{1}{2} {\dot{р}}^{2} "=" \frac{1}{2} (- с^{- 2} \dot{с})^{2} "=" \frac{1}{2} с^{- 4} {\dot{с}}^{2} .

$r=s^{-1}\implies\frac12\dot{r}^2=\frac12(-s^{-2}\dot{s})^2=\frac12s^{-4}\dot{s}^2.$ С

L^{'} = \frac{1}{2} s^{- 4} {\dot{s}}^{2} - a s^{2} - b s^{- 2}

$L^\prime=\frac12s^{-4}\dot{s}^2-as^2-bs^{-2}$ , его ELE

с^{- 4} \ddot{с} - 4 с^{- 5} {\dot{с}}^{2} "=" \frac{д}{д т} \frac{\partial л}{\partial \dot{с}} "=" \frac{\partial л}{\partial с} "=" - 2 а с + 2 б с^{- 3} .

$s^{-4}\ddot{s}-4s^{-5}\dot{s}^2=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{s}}=\frac{\partial L}{\partial s}=-2as+2bs^{-3}.$ Теперь подставьте сюда синие уравнения, чтобы показать, что оно сводится к исходному ELE.

Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

пользователь 292868

Дж. Г.

ФродКуб

ФродКуб

ФродКуб

Ответы (1)

Дж. Г.

пользователь 292868

Криволинейные координаты и базисные векторы

Преобразование координаты в лагранжиане

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Какова траектория частицы под действием постоянной угловой силы, всегда перпендикулярной вектору ее положения?