Преобразование координаты в лагранжиане

Question

Преобразование координаты в лагранжиане

Астер Клил

Лагранжиан для задачи о центральной силе:

л "=" \frac{1}{2} мю (\dot{р} + р^{2} ({\dot{θ}}^{2} + с я н^{2} θ \cdot {\dot{ф}}^{2})) - U (р)

$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\mu(\dot{r} + r^{2}(\dot{\theta}^{2} + sin^{2}\theta\cdot \dot{\varphi}^{2})) - U(r)$

Мы знаем, что угловой момент определяется как:

\vec{л} "=" мю \cdot \vec{р} \times \dot{\vec{р}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$

∴ \vec{r} (t) \cdot \vec{L} = 0,

$\therefore \hspace{0.5cm} \overrightarrow{r}(t)\cdot \overrightarrow{L} = 0, \hspace{0.5cm}$ это означает, что движение происходит в одной плоскости.

Преобразованием координат мы можем иметь движение в плоскости xy. Следовательно, это означает, что мы имеем угловой момент в $\hat{Z}$ направление.

∴ θ "=" с о с^{- 1} (\frac{\vec{л} \cdot \hat{Z}}{| | \vec{л} | |})

$\therefore\hspace{0.5cm} \theta = cos^{-1}\bigg( \frac{\overrightarrow{L}\cdot \hat{Z}}{||\overrightarrow{L}||}\bigg)$ где,

\vec{л} "=" мю \cdot р^{2} (- (\dot{θ} \cdot грех ф + \frac{1}{2} \cdot ф \cdot грех 2 θ \cdot потому что ф) \hat{Икс} + (\dot{θ} \cdot потому что ф - \frac{1}{2} \cdot ф \cdot грех 2 θ \cdot грех ф) \hat{Д} + (\dot{ф} \cdot {грех}^{2} θ) \hat{Z})

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot r^{2}\bigg(-\big(\dot{\theta}\cdot \sin\varphi\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\cos\varphi)\hat{X}\hspace{0.1cm} + (\dot{\theta}\cdot \cos\varphi\hspace{0.1cm}- \hspace{0.1cm} \frac{1}{2}\cdot\varphi\cdot \sin2\theta\cdot\sin\varphi)\hat{Y} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} \big(\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta\big)\hat{Z}\bigg)$ и,

| | \vec{л} | | "=" мю \cdot р^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ф}}^{2} {грех}^{4} θ)^{1 / 2}

$||\overrightarrow{L}|| = \mu\cdot r^{2}\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta\big)^{1/2}$

⟹ θ "=" с о с^{- 1} (\frac{\dot{ф} \cdot {грех}^{2} θ}{({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ф}}^{2} {грех}^{4} θ)^{1 / 2}})

$\implies \theta = cos^{-1}\Bigg( \frac{\dot\varphi\cdot\sin^{2}\theta}{\big(\dot\theta^{2}+\dot\varphi^{2}\sin^4\theta)^{1/2}}\Bigg)$

Я не могу преобразовать координату так, чтобы новый лагранжиан стал ,

л_{е ф ф} "=" \frac{1}{2} мю (\dot{р} + р^{2} {\dot{ф}}^{2}) - U (р)

$\mathcal{L}_{eff} = \frac{1}{2}\mu\big(\dot{r} + r^{2}\dot{\varphi}^{2}\big) - U(r)$

Владимир Калитвянский

Алгле

θ

$\theta$ это не переменная, это константа. Просто используйте его значение.

Астер Клил

Лагранжиан записывается в сферических координатах, где r,

θ

$\theta$ ,

φ

$\varphi$ является переменным. Пожалуйста, дайте мне знать, как

θ

$\theta$ не является переменной.

Астер Клил

@Эли

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ вектор, который находится вдоль единичного вектора

\hat{r}

$\hat{r}$ , где:

\hat{r} = \sin θ \cdot \cos φ \hat{X} + \sin θ \cdot \sin φ \hat{Y} + \cos θ \hat{Z}

$\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$

Эли

да я вижу свою ошибку

Эли

\vec{r} \cdot \vec{L}

$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ равен нулю только в том случае, если

\cos^{2} (θ) - \cos^{2} (ϕ) = 0

$~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ или

θ = ϕ

$~\theta=\phi$ с этим вы получаете

L_{e f f} = \dots

$~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$

Астер Клил

@Эли, как видишь

\vec{L} = μ \cdot \vec{r} \times \dot{\vec{r}}

$\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ ,

∴

$\therefore$

\vec{L}

$\overrightarrow{L}$ перпендикулярно

\vec{r}

$\overrightarrow{r}$ . Любое скалярное произведение с перпендикулярным вектором всегда равно нулю. Я думаю, что нам не нужно это условие.

Ответы (1)

Преобразование координаты в лагранжиане

Алгле $\theta$ это не переменная, это константа. Просто используйте его значение.
Лагранжиан записывается в сферических координатах, где r, $\theta$ , $\varphi$ является переменным. Пожалуйста, дайте мне знать, как $\theta$ не является переменной.
@Эли $\overrightarrow{r}$ вектор, который находится вдоль единичного вектора $\hat{r}$ , где: $\hat{r} = \sin\theta\cdot\cos\varphi\hat{X} + \sin\theta\cdot\sin\varphi\hat{Y} + \cos\theta\hat{Z}$
$~\vec{r}\cdot\vec{L}~$ равен нулю только в том случае, если $~\cos^2(\theta)-\cos^2(\phi)=0$ или $~\theta=\phi$ с этим вы получаете $~\mathcal{L}_{eff}=\ldots$
@Эли, как видишь $\overrightarrow{L} = \mu \cdot \overrightarrow{r} \times \dot{\overrightarrow{r}}$ , $\therefore$ $\overrightarrow{L}$ перпендикулярно $\overrightarrow{r}$ . Любое скалярное произведение с перпендикулярным вектором всегда равно нулю. Я думаю, что нам не нужно это условие.

Крупа · Answer 1

Поскольку движение происходит в плоскости, вы действительно можете предположить, что движение происходит в плоскости. $xy$ -самолет т.е. $\theta=\pi/2$ -самолет. Лагранжиан для системы, связанной с $\theta=\pi/2$ -плоскость задается установкой $\dot\theta=0$ и $\theta=\pi/2$ в данном лагранжиане.

@krupa Во-первых, я не хочу предполагать $\theta$ к любому значению. Движение в плоскости xy означает, что угловой момент направлен в $\hat{z}$ направление. Можете ли вы дать мне какой-либо физический регион, чтобы дать $\dot\theta$ быть нулем. Из уравнения Эйлера - Лагранжа я получу соотношение $\theta$ , то есть : $2\cdot\ddot{\theta} = \sin2\theta\cdot \dot{\varphi}^{2}$ .
Вы не можете получить приведенный ниже лагранжиан, просто изменив координаты исходного лагранжиана. Он содержит на одну степень свободы меньше, чем исходный лагранжиан. Поскольку лагранжиан вращательно симметричен, угловой момент сохраняется, и вы можете утверждать (как и вы), что движение происходит в плоскости (но не в какой именно). Но тогда можно сделать вывод, что достаточно искать решение в конкретной плоскости. Это не дает общего решения исходной задачи. Однако все решения могут быть получены путем вращения решений лагранжиана со связями.

Преобразование координаты в лагранжиане

Астер Клил

Владимир Калитвянский

Астер Клил

Астер Клил

Эли

Эли

Астер Клил

Ответы (1)

Крупа

Астер Клил

Крупа

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Криволинейные координаты и базисные векторы

Классическая механика, Теоретический минимум: сохранение углового момента для двойного маятника без гравитационного поля

Показать, что две функции Лагранжа эквивалентны

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?