Какова волновая функция эксперимента Юнга с двойной щелью?

Ну, есть много вещей, которые вы могли бы сделать. Вы могли бы:

1. рассмотрим два гауссова луча (связанная статья предназначена для электродинамики)
2. применить некоторое параксиальное приближение (которое было бы более подходящим для рассмотрения электронов с большим импульсом вперед)
3. сделать дешевую/дешевую симметричную аппроксимацию точечного источника, используя функции Грина.

Я могу сделать номер три для вас :)

Если вы возьмете$\hbar=1$,$m=\frac{1}{2}$, то рассматриваемое уравнение принимает вид$i \dot{\varphi}+\nabla^2 \varphi=0$, имеющее решение:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2+z^2}{2 a+4 i t}}\right)$$

Затем вы можете добавить два из этих точечных источников вместе и перевести их:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2}{2 a+4 i t}}\right)\left(\exp\left( \frac{(z-h)^2}{2 a+4 i t} \right)+\exp\left( \frac{(z+h)^2}{2 a+4 i t} \right) \right)$$

Тот факт, что эти волновые пакеты не движутся, немного обманывает, но вы всегда можете «ускорить» до движущейся системы отсчета, используя ответ здесь: галилеевская инвариантность уравнения Шредингера (или, если вы действительно на вершине вашей игре в квантовой механике вы можете применить оператор перевода$e^{-i\hat{x}\cdot \hat{p}}$)

Вуаля, подходящая волновая функция.

Вот срез XZ начального состояния$|\psi|^2$:

Срез XZ$|\psi|^2$позже и со смещением Y:

И анимация из$|\psi|^2$(залито на имгур)

Я использовал Mathematica, чтобы расширить psi в квадрате предыдущего уравнения. Вы можете точно увидеть, где возникают помехи (член косинуса)

$$|\psi(x,y,z,t)|^2=\frac{\left(a^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+4 t^2\right)^{3/2}} \cdot \left(\exp\left(-\frac{a \left(h^2+2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+\exp\left(-\frac{a \left(h^2-2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+2 \cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right) \exp \left(-\frac{a \left(h^2+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)\right)$$

Итак, колебательная/важная часть$\cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right)$. Это поднимает очевидную проблему с этим подходом: он напрямую не дает хорошего результата, который вы обычно хотите, связывая импульс частицы с «длиной волны» интерференционной картины. Интерференционная картина достигает максимальной частоты при$t=\frac{a}{2}$, поэтому я оставлю читателю в качестве упражнения выяснить, существует ли связь между импульсом ($\hat{p}^2$может быть?), длина волны де Бройля и обычные формулы пика/впадины, формулы дифракции ( такие вещи )