Каково математическое объяснение появления магнитных монополей в ранней Вселенной?

Почему вообще возникают эти топологические дефекты?

Их не бывает.

На сегодняшний день не было экспериментального обнаружения магнитного монополя, поэтому существует несоответствие между экспериментом и теорией, которое необходимо исправить путем включения магнитных монополей в текущую структуру.

Физика в конечном итоге управляется экспериментальными данными, которые (пока?) не обнаружили монополей, поэтому я говорю: «Они не встречаются». Как сказал Фейнман:

Неважно, насколько красива ваша теория, неважно, насколько вы умны. Если это не согласуется с экспериментом, это неправильно

Так. Откуда взялся «дискурс магнитного монополя»?

В интересах сохранения математики на уровне бакалавриата, согласно вашей просьбе, я буду избегать доказательств и просто приведу результаты. Я думаю, что математика вполне доступна в этом обзоре (уже упомянутом в комментариях к вопросу) моего старого лектора Артту Раджантие (забавные мелочи).

Несколько физических теорий выглядели бы более элегантно и симметрично и предоставили бы теоретическое доказательство таких фактов, как квантование электрического заряда (которое действительно наблюдается в реальном мире), если бы существовали магнитные монополи:

1) Классическая электродинамика имела бы («красивую») дуальную симметрию между электрическим и магнитным полями :

• Точно так же, как линии электрического поля начинаются и заканчиваются на электрических зарядах.$q$, силовые линии магнитного поля начинались бы и заканчивались на магнитных зарядах$g$.
• Уравнения Максвелла не изменились бы при преобразовании$\mathbf{E}\rightarrow \mathbf{B}$и$\mathbf{B}\rightarrow -\mathbf{E}.$
• Сила Лоренца для электрического (магнитного) заряда, движущегося в электромагнитном поле, также будет подчиняться вышеупомянутой симметрии: $$\mathbf{F}_{\text{on q}} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}) \quad \text{and} \quad \mathbf{F}_{\text{on g}} = g(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times \mathbf{E})$$
• Электрическое поле и магнитное поле от точечного заряда будут выглядеть точно так же: $$\mathbf{E} = q\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} \quad \text{and} \quad \mathbf{B} = g\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.$$

Короче говоря, классическая электродинамика была бы полностью совместима с этой двойственной симметрией, отсутствие которой, таким образом, «предполагает» ее «нарушение».

2) Магнитные монополи в квантовой механике привели бы к теоретическому требованию квантования электрического заряда .

Это известно как условие квантования Дирака , и оно действительно немного тонкое, и я отсылаю вас к обзору для полной истории. Но в интересах сохранить его на уровне старшекурсника: если вы проведете эксперимент с двумя щелями с электронами, вы получите интерференционную картину, пространственный профиль которой определяется фазой, приобретаемой волновой функцией электрона между щелью и экраном. Если бы вы теперь поместили источник магнитного потока (например, соленоид или эту полезную штуку, называемую струной Дирака ) прямо перед щелями, это заставило бы электроны подхватить дополнительную фазу.$\Delta \theta$( изображение ):

На самом деле это уже наблюдалось в эффекте Ахарнова-Бома , и эта фаза определяется выражением:

$$\Delta\theta = q \oint_C \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r},$$

где$C$замкнутый контур на изображении: источник$\rightarrow$экран$\rightarrow$вернуться к источнику.

Теперь, если магнитный векторный потенциал$\mathbf{A}$должно быть вызвано магнитным монополем, то оно имело бы$g$в нем (см. классическое выражение для поля точечного магнитного заряда выше), что означает, что$\Delta \theta \propto q\cdot g$. Но фаза в квантовой механике имеет смысл только по модулю.$2\pi$, что приводит к:

$$\frac{qg}{2\pi} \in \mathbb{Z},$$ т. е. условие квантования Дирака , которое говорит, что если бы существовали заряды магнитных монополей g , то электрический заряд$q$будет квантован. Это заманчиво, потому что в природе действительно наблюдается, что все электрические заряды являются целыми кратными$\pm e/3$, заряд кварков.

3) Магнитные монополи появились как побочный продукт альтернативных электрослабых теорий и теорий Великого объединения (ТВО).

Математика электрослабой симметрии , прорывающейся через механизм Хиггса , не совсем понятна, но достаточно сказать, что некоторые люди обнаружили, что электромагнетизм и слабое взаимодействие могут быть описаны в рамках единой структуры , если принять определенную групповую симметрию ($SU(2)_L \times U(1)_Y$) и существование другого поля, называемого полем Хиггса . Фазовый переход, произошедший тогда, когда ранняя Вселенная охлаждалась, «нарушил» эту симметрию и дал нам отдельные электромагнетизм и слабое взаимодействие, которые мы наблюдаем сегодня.

Оказывается, у некоторых других людей была аналогичная теория с другой групповой симметрией (сначала$SO(3)$, затем$SU(5)$). Эти теории также имели поле Хиггса (или два), которое было трехмерным векторным полем. Тот же фазовый переход, упомянутый выше, нарушил бы трехмерную симметрию и заставил бы ее «выбрать направление». Короче говоря, существует конфигурация, в которой направление «выбрано», но оно не является однородным, известная как конфигурация ежа или монопольное решение 'т Хофта-Полякова :

(Кроме того, поскольку эта вещь не может непрерывно деформироваться во что-то плоское, это называется топологическим дефектом)

Можно рассчитать магнитное поле этой конфигурации ( статья 't Hooft 1974 г. ), и оно оказывается полем магнитного монополя с магнитным зарядом$g = \frac{4\pi}{q}$.

Поскольку вы специально спросили

Почему эти дефекты/частицы должны нести магнитный заряд?

Я предполагаю, что аргумент "оказывается" вас не удовлетворяет.
Причина этого в том, что электромагнетизм соответствует$U(1)$групповая симметрия, которая представляет собой просто круг радиуса$1$на комплексной диаграмме Аргана. Существует очевидная симметрия относительно оси z , оси, проходящей через центр круга. Итак, электромагнетизм и, следовательно, электрические и магнитные поля связаны с вращением вокруг этой оси. В этой теории осью является направление вектора поля Хиггса после нарушения симметрии (т.е. направление, которое было «выбрано»).

--

Сначала предполагалось, что масса этой частицы равна$100$ГэВ (в$SO(3)$теория), а затем$10^{15}$ГэВ (в$SU(5)$). Последняя теория также ввела бы канал для распада протона . Ни частицы, ни распад протона не наблюдался (пока).

А как насчет космологии и ранней Вселенной?

Я вижу, вы упоминаете «раннюю вселенную» в названии и используете тег «космология».

Если фундаментальные законы физики допускают существование магнитных монополий, то есть шанс, что они были созданы вместе со всем остальным во время Большого взрыва или вскоре после него в ранней Вселенной. Значит, нужно уметь их находить. Излишне говорить, что никто не нашел его (пока).

Действительно, это известно как проблема монополии .

И действительно, существует множество теорий, пытающихся объяснить это очевидное отсутствие монополий (кроме того, что «они не существуют»), включая (космическую) инфляцию , которая так растянула бы пространство-время за такое короткое время, что оно рассеяли и без того скудный резервуар магнитных монополей до чрезвычайно разбавленной плотности, что делает маловероятным их обнаружение. Я добавил этот последний абзац, потому что у вас был тег «космическое расширение», который я удалил в пользу тега «электромагнетизм», потому что я чувствовал, что вы должны иметь этот , а «космология» уже охватила «космический» материал.