Калибровочные теории магнитных монополей

1) Универсальные накрывающие группы — это группы, обладающие свойством односвязности. Каждая алгебра имеет уникальную покрывающую группу. Остальные группы,$\{G\}$, связанные с той же алгеброй, можно получить из накрывающей группы следующим образом

$$G=\frac{\tilde G}{Ker(\rho)},$$ где $Ker(\rho)$является ядром гомоморфизма групп $\rho:\tilde G\rightarrow G$. Как только вы определили конкретное представление, вы можете вычислить это ядро. Например, вы начинаете с $\mathfrak{su}(2)$алгебра. Тогда, если вы выберете присоединенное представление, вы можете показать, что $Ker(\rho)=\mathbb Z_2$и группа будет $G=SU(2)/\mathbb Z_2=SO(3)$. С другой стороны, если вы выберете определяющее представление, вы получите $Ker(\rho)=\mathbb 1$и $G=SU(2)/\mathbb 1=SU(2)$.

2) Топологический магнитный монополь должен удовлетворять условию квантования

$$e^{ieQ_m}=\mathbb 1,$$ где $Q_m$— (неабелев) магнитный заряд. Это обобщение условия квантования Дирака . Можно показать, что для выполнения этого условия $U(1)$должен быть компактным, потому что электрический заряд также должен быть квантован. Я не совсем уверен в результате, на который он претендует: «компактное $G$с компактным покрытием $\tilde G$подразумевает в $U(1)$компактный». Результат, который я знаю, заключается в том, что когда у вас есть спонтанное нарушение симметрии $G\rightarrow K\times U(1)$, $U(1)$компактен, если $G$и $K$оба полупросты . В противном случае $U(1)$может быть некомпактным.

3) Магнитные монополи строятся не из электрических зарядов. Однако они получаются в калибровочных теориях со спонтанным разрывом, которые, вообще говоря, имеют в своем спектре электрические заряды. Я полагаю, он просто имел в виду, что квантованные электрические заряды подразумевают квантовые магнитные заряды и наоборот.