Почему магнитный монополь не был показан в контексте Стандартной модели физики элементарных частиц?

Стандартная модель обычно формулируется как калибровочная теория с лагранжианом, содержащим калибровочные поля. Скажем для простоты, что мы рассматриваем абелеву калибровочную теорию, что означает, что калибровочная группа$U(1)$.

Затем у вас есть электрическое и магнитное поля, но, как вы знаете, они описываются фотонным полем.$A_\mu$. С точки зрения электрического и магнитного полей,$A_\mu$соответствует потенциалам. В частности, пространственная часть$A_\mu$это вектор$\vec{A}$определяется$\vec{B} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}$. Но обратите внимание, что это определение в решающей степени зависит от того факта, что$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$.

В присутствии магнитных монополей это соотношение изменяется на$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = \rho_m$где$\rho_m$- плотность магнитных зарядов, аналогично электрическому соотношению$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho_e$. В этом случае уже неверно существование функции$\vec{A}$такой, что$\vec{B} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}$. Конечно, если у вас есть магнитные монополи, но нет электрических монополи (т. е. частиц, заряженных электрическим полем), то соотношение$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0$позволяет ввести функцию$\vec{A}_D$такой, что$\vec{E} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}_D$, и вы можете продолжить, как обычно, с$\vec{E}$и$-\vec{B}$обменялись.

Подводя итог, у нас не может быть лагранжевого описания с электрически и магнитно заряженными частицами. Обычно это формулируется так: электрически заряженные частицы и магнитные монополи взаимно нелокальны. И это главная причина, по которой мы не добавляем монополи к лагранжиану Стандартной модели.

В качестве последнего замечания я должен дать намек на то, как магнитный монополь будет включен в формализм. По сути, это сводилось бы к нетривиальному граничному условию для калибровочного поля. Точнее, если вы хотите описать магнитный монополь, который находится в точке$x$, затем удалите небольшую сферу вокруг$x$из пространства-времени и задать соответствующие граничные условия для поля$A_\mu$на этой сфере. Таким образом, монополь на самом деле не находится в пространстве-времени, и описанное выше противоречие исчезает.

Никакая элементарная частица (в смысле частицы, являющейся квантом элементарного квантового поля) не может нести «магнитный заряд». Наличие поля, «магнитно заряженного» под$\mathrm{U}(1)$просто несовместимо с$\mathrm{d}F = 0$Личность Бьянки, которая будет изменена на$\mathrm{d} F = j_m$для$j_m$магнитный 3-ток. Это означает, что теория с магнитно заряженными элементарными полями не может быть простой$\mathrm{U}(1)$Калибровочная теория. Я обсуждаю несколько альтернативных способов включения магнитных зарядов в$\mathfrak{U}(1)\cong \mathbb{R}$теория здесь чуть подробнее.

Отсутствие монополий в Стандартной модели не имеет ничего общего с аномалиями или устранением аномалий. Теорема о запрете для топологических монополей в стандартной (Глэшоу-Вайнберга-Салама) теории электрослабого взаимодействия состоит в том, что четырехмерные монополи 'т Хофта-Полякова калибровочной группы$G$разбит на подгруппу$H$требуют нетривиальных$\pi_2(G/H)$вакуумного коллектора$G/H$. Если$G$является одно- и двусвязным, т.е.$\pi_1(G) = \pi_2(G) = 0$, то это то же самое, что требовать нетривиального$\pi_1(H)$из длинной точной последовательности гомотопических групп, примененной к расслоению$H \to G \to G/H$. Но в теории GWS электромагнитное$H = \mathrm{U}(1)$обычно плотно в торе$\mathrm{U}(1)\times\mathrm{U}(1)\subset \mathrm{SU}(2)\times\mathrm{U}(1)$для общих (т.е. иррациональных) значений угла Вайнберга, ср. ответы Qmechanic здесь и здесь , эффективно становясь некомпактным$\mathrm{U}(1)$- карта вложения не является непрерывной на уровне групп Ли.

Обратите внимание, что это исключает только монополи 'т Хоофта-Полякова. Это не исключает других топологических монополий, которые могли возникнуть из нетривиальной топологии самого пространства-времени, как стандартный пример$\mathrm{U}(1)$монополь, находящийся в начале$(\mathbb{R}^3/\{0\})\times \mathbb{R}$, см., например, этот вопрос и ответ .