Каково направление распространения волн вида eikxeikxe^{ikx}?

Question

Каково направление распространения волн вида eikxeikxe^{ikx}?

ПОЖАР

Предположим, что нам дана волновая функция

ψ (Икс) "=" А е^{я к Икс} + Б е^{- я к Икс} .

$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}.$

После некоторых исследований в Интернете я обнаружил, что

В сочетании с обычными энергетическими (фазовыми) факторами, зависящими от времени, в полном решении TDSE, тогда $e^{ikx}$ термины дают правонаправленные волны и $e ^{−ikx}$ термы дают левые волны. Физически термин $Ae^{ikx}$ приходящая волна и $Be^{−ikx}$ представляет собой отраженную волну.

я знаю это $e^{ikx}=\sin(kx)+i\cos(kx)$ , но это ничего не говорит мне о том, в каком направлении движется волна (положительно или отрицательно). $x$ ?).

Почему $e^{ikx}$ члены дают правонаправленные волны?

Редактировать:

@SteveB дал мне хороший ответ, который сообщил мне о необходимости учитывать реальную часть волны с временной зависимостью и учитывать последствия для значений $k$ больше нуля и меньше нуля для положительного $\omega$

\begin{matrix} (1) & ф (Икс, т) "=" р е [е^{я к Икс - я ю т}] "=" потому что (к Икс - ю т) \end{matrix}

$f(x,t)=Re[e^{ikx-i\omega t}]=\cos(kx-\omega t)\tag{1}$ В своем ответе он упоминает, что для

k > 0

$k\gt 0$ волна пойдет прямо и за

k < 0

$k\lt 0$ волна пойдет влево.

Я вижу, строя графики, что знак $k$ переворачивает волну $(1)$ о $y$ -ось (или $x$ -осевое отражение, так как косинус четный).

Как можно определить направление, в котором движется волна, просто посмотрев, в каком направлении она колеблется? $y$ -ось?

Qмеханик

Если вам нравится этот вопрос, вы также можете прочитать этот пост Phys.SE.

пользователь108787

Насколько я знаю, просто принято использовать декартову систему координат для определения направлений волн. Мы можем выбирать вправо или влево, если мы последовательны. Таким образом, он отображается на нормальную ось x.

Стив Бирнс

Это зависит от того, является ли временная зависимость e^+iwt вне e^-iwt. Физики традиционно используют последнее; инженеры-электрики традиционно используют первое!

Стив Бирнс

Волны всегда зависят от времени... но часто неявно! (опущено для сокращения формул)

ПОЖАР

@SteveB Вы намекаете, что если просто дать

e^{i k x}

$e^{ikx}$ нельзя определить, движется ли волна влево или вправо?

dmckee --- котенок экс-модератор

Он говорит, что если зависимость от времени явно не указана, вы должны знать соглашение, которое автор использовал для вывода направления (которое зависит от того, одинаковы или различны знаки пространственных и временных терминов).

Ответы (3)

Каково направление распространения волн вида eikxeikxe^{ikx}?

Если вам нравится этот вопрос, вы также можете прочитать этот пост Phys.SE.
Насколько я знаю, просто принято использовать декартову систему координат для определения направлений волн. Мы можем выбирать вправо или влево, если мы последовательны. Таким образом, он отображается на нормальную ось x.
Это зависит от того, является ли временная зависимость e^+iwt вне e^-iwt. Физики традиционно используют последнее; инженеры-электрики традиционно используют первое!
Волны всегда зависят от времени... но часто неявно! (опущено для сокращения формул)
@SteveB Вы намекаете, что если просто дать $e^{ikx}$ нельзя определить, движется ли волна влево или вправо?
Он говорит, что если зависимость от времени явно не указана, вы должны знать соглашение, которое автор использовал для вывода направления (которое зависит от того, одинаковы или различны знаки пространственных и временных терминов).

Стив Бирнс · Answer 1

Если волна $f(x,t)=Re[e^{ikx-i\omega t}]$ с $\omega>0$ , то правильно, если $k>0$ или ушел, если $k<0$ . Вы понимаете, почему? Попробуйте выбрать два или три значения $t$ и делать сюжеты...

Но вы можете попеременно написать волну как $f(x,t)=Re[e^{ikx+i\omega t}]$ , а теперь наоборот! $k>0$ едет влево. (На практике было бы более распространенным писать $f(x,t)=Re[e^{-ikx+i\omega t}]$ так что $k$ имеет нормальное соглашение о знаках.)

Так или иначе, ключевой вопрос заключается в том, является ли временная зависимость волны $e^{-i\omega t}$ или $e^{+i\omega t}$ . Это может быть непростой задачей, потому что иногда этот фактор, зависящий от времени, опускают, чтобы формулы выглядели проще. В общем, нужно просмотреть книгу или статью, чтобы увидеть, не записан ли где-нибудь фактор, зависящий от времени.

Если они не говорят об этом явно, практическое правило таково: инженеры-электрики почти всегда используют $e^{+i\omega t}$ и физики почти всегда используют $e^{-i\omega t}$ .

К счастью для вас, есть одна область, которая совершенно недвусмысленна: уравнение Шрёдингера повсеместно использует $e^{-i\omega t}$ (где $\omega=E/\hbar$ ). Так что вы можете рассчитывать на это везде в квантовой механике. Этот случай применим к вам.

(Можно представить злого близнеца уравнения Шредингера с обратным знаком на $i$ , т.е. $-i\hbar \partial \Psi/\partial t = H\Psi$ . Оно объективно не менее правильно, чем традиционное уравнение Шредингера, но использует $e^{+i\omega t}$ вместо этого зависимость от времени. К счастью для нас, никто никогда не использовал эту версию, насколько я знаю!)

Босонеандо · Answer 2

Используя обычный метод разделения переменных, решение зависящего от времени уравнения Шрёдингера имеет вид

Ψ (Икс, т) "=" е^{- я Е т} ψ (Икс) "=" е^{я (\pm к Икс - Е т)},

$\Psi(x,t)=e^{-iEt}\psi(x)=e^{i(\pm kx-Et)},$ где

ψ (x)

$\psi(x)$ является решением уравнения, не зависящего от времени, и мы установили

ℏ = 1

$\hbar=1$ .

Волновые уравнения характеризуются наличием решений вида $f(x,t)=f(x-vt)$ где $v$ - скорость распространения волны. Представьте, что волна имеет пик в точке $x=vt$ . По прошествии времени, $x$ положение пика увеличивается, и поэтому волна уходит вправо.

Сравнивая общее решение с вашими плоскими волнами,

Ψ (Икс, т) "=" е^{я (\pm к Икс - Е т)} "=" е^{\pm я к (Икс \mp \frac{Е}{к} т)} "=" ф (Икс - в т)

$\Psi(x,t)=e^{i(\pm kx-Et)}=e^{\pm ik(x \mp \frac{E}{k}t)}=f(x-vt)$ ясно, что

e^{i k x}

$e^{ikx}$ правосторонняя волна со скоростью

v = E / k

$v=E/k$ , пока

e^{- i k x}

$e^{-ikx}$ левый со скоростью

v = - E / k

$v=-E/k$ .

доктора · Answer 3

$\vec{k}$ является вектором, в частности, волновым вектором. Это связано с импульсом (например, в квантовой механике $\ \vec{p}=\hbar\vec{k}$ ). Положительный импульс распространяется в положительном направлении, следовательно, вправо, если ось горизонтальна, а положительное направление — вправо.

Причина отрицательной зависимости от времени связана с тем, что $\, \vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t$ является инвариантным. Если $\vec{k}$ является положительным волновым вектором, и вы меняете значение $x$ из, скажем, $0$ к $2$ , то вы также сдвинулись на некоторое расстояние вперед во времени, и общее значение $\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t$ не должен меняться.

Инженерное соглашение на самом деле ничем не отличается. Вы заметите, что инженеры используют $j\omega t$ вместо $-i\omega t$ и $\ j\,=\,-i$ . Помните, что есть 2 квадратных корня из $-1$ .

Спасибо за ваш ответ (+1). Два вопроса к вам: почему $k$ вектор? Я новичок в квантовой механике, поэтому спрашиваю об этом, потому что никогда не сталкивался с понятием вектора для $k$ . Во-вторых, не могли бы вы пояснить, что вы подразумеваете под «отрицательной зависимостью от времени, потому что $\, \vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t$ является инвариантным"? Большое спасибо.
$\vec{k}$ является вектором, потому что он связан с импульсом, а импульс является вектором. Если вы только начинаете изучать квантовую механику, то вы, вероятно, делаете все в одномерном пространстве, так что этот факт не очевиден. Что, если бы у вас были импульсы в двух направлениях, так что волна распространяется под некоторым углом между $x$ и $y$ ось? С $\vec{p}=\hbar\vec{k}$ Вы получаете $p_x = \hbar k_x.\, p_y=\hbar k_y$ .
Хорошо сказано, и да, вы правы, сейчас мы делаем все в 1D! Так что давайте пока поработаем в 1D; Почему $k\cdot x - \omega t$ инвариант? Мне может быть проще отредактировать ваш пост, чтобы объяснить. Еще раз спасибо.
Скалярное произведение двух векторов не меняется только потому, что вы выполняете преобразование координат. Выбор разных координат по-прежнему описывает одну и ту же волну. Рассмотрим два вектора, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ , с некоторыми компонентами x и y. Теперь поверните ваши координаты: $x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta),\, y'=y\cos(\theta) + x\sin(\theta)$ . Умножьте его, и вы получите один и тот же ответ в обеих системах координат. То, как вы помечаете координаты, не меняет физических вещей. Чтобы включить компонент времени, вы можете выполнить преобразование Галилея, $\vec{x'}=\vec{x}-\vec{v} t,\, t=t'$

Каково направление распространения волн вида eikxeikxe^{ikx}?

ПОЖАР

Редактировать:

Qмеханик

пользователь108787

Стив Бирнс

Стив Бирнс

ПОЖАР

dmckee --- котенок экс-модератор

Ответы (3)

Стив Бирнс

Босонеандо

доктора

ПОЖАР

доктора

ПОЖАР

доктора

Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

Недоразумение относительно бесконечного квадратного колодца

Может ли существовать волновая функция, которая физически возможна, но не дифференцируема (может быть, даже не непрерывна)?

Решения с бесконечными потенциальными квадратными колодцами

Почему мы можем опустить половину общего решения?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?

Ожидаемое значение гамильтониана?