Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

Question

Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

НиКС001

В настоящее время я изучаю квантовую механику по онлайн-видео-лекциям и ресурсам. В большинстве веб-статей и видео волновые функции показаны как круговые волны. $e^{i\omega t}$ вместо плоских волн $\sin{\omega t}$ .

[Примечание: я рассматриваю фиксированное положение и, следовательно, уравнение $e^{i(k\cdot r + \omega t)}$ сводится к $e^{i\omega t}$ ]

Несколько примеров из сети:

Это видео показывает амплитуду волны, которая вращается вокруг положения (т.е. круговая волна в соответствии с $e^{i\omega t}$ ): Визуализация квантовой волновой функции

Статья Википедии об уравнении Шредингера описывает плоскую волну с использованием $e^{i(k\cdot r + \omega t)}$ вместо $\sin{\omega t}$ даже если они называют это плоской волной: уравнение Шредингера

В этом видео вывод плотности вероятности основан на круговой волне: Квантовая механика 1 Лекция 3

синтетический

(Сложная) плоская волна определяется

e^{k \cdot r + ω t} = \cos (k \cdot r + ω t) + i \sin (k \cdot r + ω t)

$e^{\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t}=\cos(\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t)+i\sin(\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t)$ . Обратите внимание на жирный шрифт, который означает, что положение и импульс являются векторами. Википедия правильная. Круговая волна — это нечто другое.

синтетический

извините, в моем комментарии опечатка. Я имею в виду

e^{i (k \cdot r + ω t)}

$e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf r + \omega t)}$

НиКС001

Я рассматриваю амплитуду в данной позиции. Таким образом, вы можете игнорировать

k \cdot r

$k \cdot r$ . Если я правильно понял,

\cos ω t + i \sin ω t

$\cos \omega t + i \sin \omega t$ представляет вращающийся вектор амплитуды на странице YZ с вещественной составляющей, указывающей на ось Y, и мнимой составляющей, указывающей на ось z. (по видео youtube.com/watch?v=KKr91v7yLcM ).

синтетический

почему оси Y и Z? что особенного в y и z? Волновая функция в этом случае не вектор, а скаляр.

НиКС001

где ось X — направление распространения волны.

Ответы (3)

Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

(Сложная) плоская волна определяется $e^{\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t}=\cos(\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t)+i\sin(\mathbf {k}\cdot \mathbf{r}+\omega t)$ . Обратите внимание на жирный шрифт, который означает, что положение и импульс являются векторами. Википедия правильная. Круговая волна — это нечто другое.
извините, в моем комментарии опечатка. Я имею в виду $e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf r + \omega t)}$
Я рассматриваю амплитуду в данной позиции. Таким образом, вы можете игнорировать $k \cdot r$ . Если я правильно понял, $\cos \omega t + i \sin \omega t$ представляет вращающийся вектор амплитуды на странице YZ с вещественной составляющей, указывающей на ось Y, и мнимой составляющей, указывающей на ось z. (по видео youtube.com/watch?v=KKr91v7yLcM ).
почему оси Y и Z? что особенного в y и z? Волновая функция в этом случае не вектор, а скаляр.
где ось X — направление распространения волны.

Руслан · Answer 1

Руслан

Существует недопонимание того, что представляет собой слово «плоскость» в термине «плоская волна». Плоская волна – это волна, у которой поверхность постоянной фазы ( волновой фронт ) является плоской:

^{( источник изображения )}

То, что показано как круглая вещь, которая вращается для $e^{i\omega t}$ — вектор , представляющий значение волновой функции в данной (одной!) точке пространства. Векторы используются не только для квантово-механических волновых функций: эта концепция возникла в теории электрических цепей, а также полезна для обработки других типов волн, даже вещественных, например электромагнитных.

Что делает квантово-механическую волновую функцию особенной, так это то, что она обычно не поддается наблюдению, только ее абсолютное значение. Но эффект интерференции квантовых частиц, как и в эксперименте с двумя щелями , заставляет вводить дополнительный параметр для улавливания такого рода эффектов. Этот параметр — фаза, и это то, что заставляет вектор вращаться в анимациях, которые вы видите в ресурсах по квантовой механике.

Обратите внимание, что вектор — это вектор не в обычном физическом пространстве: это вектор в комплексной плоскости, и он не указывает ни на какое направление в реальном физическом пространстве, а является математической абстракцией.

НиКС001

Нельзя ли двухщелевой эксперимент объяснить вектором амплитуды, перпендикулярным направлению движения и имеющим фиксированное направление? Для чего нужны комплексные числа?

НиКС001

Боковое примечание: насколько я понял, вектора в цепях используются только для упрощения расчетов напряжения и тока, имеющих разность фаз. И в любой момент времени t рассматривается только действительная часть Phasor. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

Руслан

@ NiKS001, вы, конечно, могли бы представить такую модель. Но вам понадобится какой-то особый способ вычисления плотности вероятности из вашей волновой функции (которая не является

ℜ ψ

$\Re\psi$ , скорее

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ ). И тогда возникает вопрос: в каком направлении поляризована эта волна? Вы никогда не ответите на этот вопрос для фазы квантовой волновой функции, потому что это скаляр, и как бы вы ни вращали свой прибор, эта (предполагаемая) поляризация не меняется. (Я игнорирую вращение здесь, это совершенно отдельная вещь.)

Руслан

@ NiKS001 «используется только для упрощения расчетов напряжения и тока, имеющих разность фаз» - не только. Они полезны, когда ваше дифференциальное уравнение допускает волнообразные решения. Уравнения Максвелла, например, также часто записываются в комплексной форме, хотя в плосковолновых решениях электрические и магнитные поля находятся в фазе друг с другом.

вероятно_кто-то

@ NiKS001 Существует фундаментальная разница в том, как интерпретируются решения дифференциальных уравнений в электромагнетизме и квантовой механике. В электромагнетизме мы предполагаем , что действительная часть решения дифференциального уравнения соответствует физическому напряжению или току, поскольку в этом контексте комплексные экспоненты являются инструментами для упрощения решения дифференциальных уравнений. Однако в квантовой механике мы принимаем правило Борна, которое говорит нам, что квадрат величины , а не действительная часть, волновой функции соответствует физической плотности вероятности.

НиКС001

Таким образом, мнимая часть была первоначально добавлена только для удобства (ранние дни квантовой механики до правила Борна). Правило Борна было эмпирическим наблюдением и каким-то образом придает физический смысл этой воображаемой части. Это верно?

вероятно_кто-то

@ NiKS001 Я не уверен, что это точная история квантовой механики. Вы должны спросить об этом в журнале History of Science and Mathematics SE. Но в общем случае вы не можете решить уравнение Шредингера, зависящее от времени.

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = \hat{H} ψ

$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat{H}\psi$ с вполне реальной волновой функцией, потому что существует

i

$i$ прямо в дифференциальном уравнении.

вероятно_кто-то

@ NiKS001 Я не знаю, обязательно ли правильно говорить, что само правило Борна является эмпирическим наблюдением. В конце концов, мы не можем напрямую измерить значение волновой функции, поэтому идея о том, что квадрат величины волновой функции является плотностью вероятности, не является чем-то, что мы можем наблюдать напрямую. Скорее, это постулат , который является необходимым компонентом квантовой механики для правильного описания многих эмпирических наблюдений.

вероятно_кто-то

@ NiKS001 (Кстати, когда я говорю «полностью реальная волновая функция», я имею в виду волновую функцию, выходные значения которой представляют собой одиночные действительные числа. Есть способы полностью избежать комплексных чисел, потому что каждое комплексное число может быть представлено как матрица 2x2 действительных чисел , так что если вы позволяете вашей волновой функции иметь матричные значения, вам не нужно иметь комплексные числа.Тем не менее, вы не избавляетесь от дополнительной алгебраической структуры , предоставляемой комплексными числами, когда вы делаете это, вы просто перемаркировать их; в конечном счете, необходима именно эта дополнительная структура, независимо от того, как она представлена.)

Руслан

@probably_someone забавно, как мы прячем матрицы в мнимую единицу, а потом, после введения спина... все равно получаем матрицы.

вероятно_кто-то

@Ruslan Ну, эти матрицы представляют собой еще один слой дополнительной структуры поверх дополнительной структуры, обеспечиваемой комплексными числами. Я считаю, что вы можете скрыть и эти матрицы, если воспользуетесь формулировкой квантовой механики, основанной на кватернионах (в конце концов, кватернионы представлены реальными матрицами 4x4).

НиКС001

Думаю, теперь я понимаю: экспоненциальное представление (

e^{i ω t}

$e^{iωt}$ ) — это просто удобный инструмент для отслеживания как «максимальной» амплитуды (которая может зависеть от времени), так и «текущей» амплитуды (которая также может зависеть от времени). Волны складываются с использованием «текущей» амплитуды и фазы, но вероятность обнаружения частицы зависит от квадрата эффективной «максимальной» амплитуды волны. (Некоторые интуитивные термины, хотя и не строгая трактовка). ПРИМЕЧАНИЕ. Для волны

A \cdot \sin t

${A\cdot\sin t}$ в момент времени t=

π / 4

${\pi / 4}$ , A — «максимальная» амплитуда и

A \cdot \sin (π / 4)

${A\cdot\sin(\pi / 4)}$ - "текущая" амплитуда.

Яхсут · Answer 2

По сути, причина, по которой мы используем сложные волны в квантовой механике, заключается в том, что математика становится проще, когда мы делаем это таким образом. Технически возможно сформулировать квантовую механику, используя только реальные функции, но это сложнее и дает точно такие же результаты (см. первую страницу книги Адлера « Квартернионная квантовая теория поля» для справки: https://projecteuclid.org/download /pdf_1/euclid.cmp/1104115172 ).

Есть много причин, по которым проще использовать комплексные числа. Например, дифференциальные уравнения обычно легче решать, используя комплексные волны вместо реальных волн. Другая причина заключается в том, что преобразование Фурье чище для сложных волн. Преобразование Фурье очень важно, потому что оно связывает «положение» частицы с ее «импульсом» (хотя, как правило, одна частица будет распределена по многим «положениям» и «импульсам»). Другая причина заключается в том, что математические операции, представляющие измерения таких наблюдаемых величин, как энергия, положение и импульс, могут быть записаны в простой форме с использованием комплексных чисел.

Спасибо за указатель. Похоже, мне нужно немного углубиться в квантовую механику, используя реальные функции.

РВ Берд · Answer 3

Помните, что при использовании вращающихся векторов для представления противофазных напряжений в цепи переменного тока только один компонент вектора имеет физическое значение. Неважно, что вы выберете, пока вы помните, что это то, что вы делаете. При работе с векторами в плоскости комплексных чисел мне было бы удобнее использовать реальные компоненты для представления моей физической системы.

Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

НиКС001

синтетический

синтетический

НиКС001

синтетический

НиКС001

Ответы (3)

Руслан

НиКС001

НиКС001

Руслан

Руслан

вероятно_кто-то

НиКС001

вероятно_кто-то

вероятно_кто-то

вероятно_кто-то

Руслан

вероятно_кто-то

НиКС001

Яхсут

НиКС001

РВ Берд

Почему мы можем опустить половину общего решения?

Запутался в сложном представлении волны

Вариационный вывод уравнения Шрёдингера

Почему мы должны изначально предполагать, что волновая функция сложна?

Что на самом деле означает уравнение Шредингера?

Физическая интерпретация комплексных чисел [дубликат]

Значение iii в уравнении Шредингера [дубликат]

Можно ли сформулировать уравнение Шредингера таким образом, чтобы исключить мнимые числа? [дубликат]

Сопряженное решение уравнения Шредингера

Каково направление распространения волн вида eikxeikxe^{ikx}?