Почему мы можем опустить половину общего решения?

Хороший вопрос. Вы правы, вы не можете отказаться от одного из решений. Автор этого PDF-файла использует плохо объясненный ярлык, который звучит так: если вы развернете полное сложное решение, вы получите

$$\begin{align} \Psi(\theta) &= c_1 e^{i\omega t} + c_2 e^{-i\omega t} \\ &= (a_1 + b_1 i)(\cos\omega t + i\sin\omega t) + (a_2 + b_2 i)(\cos\omega t - i\sin\omega t) \\ &= (a_1 + a_2)\cos\omega t + (b_2 - b_1)\sin\omega t + i[(a_1 - a_2)\sin\omega t + (b_1 + b_2)\cos\omega t] \end{align}$$

Если вы знаете, по причинам, которые я не буду здесь обсуждать, что вам нужно рассматривать только действительное решение, вы можете предположить «без потери общности» (как говорится), что мнимая часть равна нулю:

$$\begin{align}a_1 &= a_2 & b_1 &= -b_2\end{align}$$

Это позволяет исключить половину коэффициентов; другими словами, два из$a_1,a_2,b_1,b_2$не являются независимыми, а связаны с двумя оставшимися.

Теперь вы можете объединить два предыдущих уравнения, чтобы получить

$$\Psi(\theta) = 2a_1\cos\omega t - 2b_1\sin\omega t$$

Обратите внимание, что решение теперь имеет только два действительных коэффициента,$a_1$и$b_1$или, что то же самое, один комплексный коэффициент,$c_1$. Подвох в том, что$c_1$на самом деле не используется как комплексное число; скорее, он разбирается, а его компоненты используются отдельно, поэтому я не думаю, что то, как это объясняется в PDF-файле, очень полезно.