Каково правильное определение инварианта Ярского?

Нет нет нет! Абсолютно никаких сумм в (1) .

(1) совпадает с (2), или, точнее, 9 эквивалентных способов записи (1) включают и (2). Я привяжу это только к тексту М. Шварца (29.91-2) для комбинаторно идентичного кваркового сектора, на котором, как я знаю, вы по существу основывали этот вопрос до .

Греческие индексы обозначают вкусовые, а латинские массовые собственные состояния, поэтому e~1, µ~2, τ~3. Я также немного изменю ваш (1), чтобы он соответствовал циклу Шварца. Опять же, не суммируйте повторяющиеся индексы!

Определите 4-тензор

$$(\alpha,\beta;i,j)\equiv \text{Im}(U_{\alpha i} U_{\beta j} U^*_{\alpha j} U_{\beta i}^{*})~,$$ так что при осмотре видно $$(\beta,\alpha;i,j)=-(\alpha,\beta;i,j)=(\alpha,\beta;j,i).$$ Затем вы видите, что с точностью до антисимметрии существует только 3 × 3 ненулевых компонента, которые, что примечательно, из унитарности U можно показать, что все они идентичны по величине , а именно, $$(\alpha,\beta;i,j)= J ~ \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{\alpha \beta} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}_{ij},$$ такой, что $$J=(e,\mu;2,3)=(e,\mu;1,2)=(e,\mu;3,1)=(\mu,\tau;2,3)=(\mu,\tau;1,2)=(\mu,\tau;3,1)\\ =(\tau,e;2,3)=(\tau,e;3,1)=(\tau,e;1,2).$$

• унитарность,$\sum_i U_{\alpha i}U^*_{\beta i}=\delta ^{\alpha \beta}$, входит и контролируется путем приведения всех строк и столбцов написанной выше матрицы к нулю, поэтому вместо 3-х независимых параметров есть только один, и то же самое для левой матрицы в тензорном произведении: они обязательно должны быть оба типа$\sum_k \epsilon^{ijk}$.