Каково правильное соотношение ньютоновских и общерелятивистских гравитационных эффектов для Солнца + орбитальной системы с одной планетой?

Question

Каково правильное соотношение ньютоновских и общерелятивистских гравитационных эффектов для Солнца + орбитальной системы с одной планетой?

СтивОу

Для гипотетической орбитальной системы (Солнце + отдельная планета) ньютоновская модель и модель общей теории относительности (ОТО) дают разные выражения для гравитационного воздействия Солнца на планету. Это хорошо известно.

Соотношение между эффектами Ньютона и ОТО разными авторами выражается по-разному.

У меня возникли проблемы с согласованием двух таких выражений соотношения Ньютона: GR.

Во- первых , Уолтер (2008) (уравнение 12.7.6, стр. 482) представляет следующее выражение для уравнения движения, полученного из модели ОТО.

\frac{д^{2} ты}{д θ^{2}} + ты знак равно \frac{грамм М}{{час}^{2}} + \frac{3 грамм М}{с^{2}} {ты}^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ куда

u = (1 / r)

$u= (1/r)$ ,

h = v r

$h=vr$ ,

G

$G$ - универсальная постоянная гравитации,

M

$M$ масса Солнца,

c

$c$ это скорость света. Здесь термин

G M / h^{2}

$GM/h^2$ является обычным ньютоновским термином, а термин

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$ дополнительный член, введенный ОТО.

Отсюда Уолтер выводит приблизительное соотношение между эффектами Ньютона и ОТО как $(1)$ к $(1 + 3v^2/c^2)$ куда $v = \sqrt{GM/r}$ - орбитальная скорость планеты на круговой орбите (с расстоянием $r$ знак равно $a$ , большая полуось).

Во-вторых, альтернативное представление (со ссылкой на так называемое решение Шварцшильда) дано Гольдштейном в Classical Mechanics (3-е издание) , стр. 536-538. Потенциал ГР $V_{GR}$ дан кем-то

В знак равно - \frac{грамм М м}{р} - \frac{б}{р^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$ куда

m

$m$ это целевая масса тела и

b

$b$ является константой (Гольдштейн использует

h

$h$ вместо того

b

$b$ , см. ниже, но я уже использовал

h

$h$ означать что-то другое в Уолтере выше,)

дифференцирование потенциала по расстоянию $r$ чтобы дать силу мы получаем

Ф_{грамм р} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{3 б}{р^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

Теперь Гольдштейн определяет константу $b$ таким образом :-

б знак равно \frac{к л^{2}}{м^{2} с^{2}} Уравнение Гольдштейна [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$ куда

к знак равно грамм М м

$k=GMm$ и

л^{2} знак равно м к а (1 - е^{2}) Уравнение Гольдштейна [12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

Так

б знак равно \frac{грамм М м м грамм М м а (1 - е^{2})}{м^{2} с^{2}} знак равно \frac{грамм М м л^{2}}{с^{2}} знак равно \frac{грамм М м м^{2} в_{с}^{2} а^{2}}{с^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

Таким образом, уравнение силы ОТО становится

Ф_{грамм р} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{3 грамм М м м^{2} в_{с}^{2} а^{2}}{р^{4} с^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ замена

a

$a$ от

r

$r$ мы получили

Ф_{грамм р} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{3 грамм М м м^{2} в_{с}^{2}}{р^{2} с^{2}} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} (1 + \frac{3 в_{с}^{2} м^{2}}{с^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

Таким образом, отношение Ньютона: ОТО, полученное Гольдштейном, такое же, как отношение, полученное Уолтером, за исключением того, что первое имеет дополнительный член $m^2$ в числителе. Даже если бы мы попытались подделать это численно, обратившись к цели с единичной массой, размерность все равно была бы неправильной.

Так каково правильное соотношение?

ОБНОВИТЬ ------------------------------------------------- --------------------

В рефакторинге $b$ Я использовал угловой момент $L$ когда я должен был использовать удельный угловой момент $\mathfrak{l}$ . После исправления доп. $m^2$ исчезает. Гольдштейн соглашается с Уолтером. Моя благодарность Стэну Лю за освещение.

Исправленный анализ: -

б знак равно \frac{грамм М м м грамм М м а (1 - е^{2})}{м^{2} с^{2}} знак равно \frac{грамм М м л^{2}}{с^{2}} знак равно \frac{грамм М м в_{с}^{2} а^{2}}{с^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

Таким образом, уравнение силы ОТО становится

Ф_{грамм р} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{3 грамм М м в_{с}^{2} а^{2}}{р^{4} с^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$ замена

a

$a$ от

r

$r$ мы получили

Ф_{грамм р} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} + \frac{3 грамм М м в_{с}^{2}}{р^{2} с^{2}} знак равно \frac{грамм М м}{р^{2}} (1 + \frac{3 в_{с}^{2}}{с^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

Таким образом, правильное отношение ньютоновской гравитационной силы к гравитационной силе ОТО:

Ф_{Н е ш т о н я а н} : Ф_{грамм р} \approx 1 : (1 + \frac{3 в_{с}^{2}}{с^{2}})

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

НОТЫ

Это соотношение является приблизительным и применяется только в подобласти «низкая скорость, слабое поле» модели ОТО.

Гольдштейн также подчеркивает, что эффект ОТО не является эффектом скорости (предположительно, как и скорость тела-мишени через любой вид эфира или потока).

По совпадению (в той же подобласти, например, Меркурий, вращающийся вокруг Солнца) модифицированная ньютоновская радиальная сила величины $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ , куда $v_t$ - мгновенная поперечная скорость небольшой планеты-мишени, производит неньютоновское апсидальное вращение («прецессия перигелия») той же величины (в пределах 1%), что и ОТО.

Гольдштейна нужно читать с осторожностью. Здесь он использует $l$ для обозначения углового момента в другом месте (например, в уравнении [1.7]) он использует $L$ . Он часто обращается к $V$ как «потенциальный», когда он явно имеет в виду «потенциальную энергию» (например, уравнение [3.49]).

Дэвид Хаммен

Не существует какого-то определенного «соотношения». Если бы это было все, что есть в общей теории относительности, ОТО была бы легкой задачей. ГР - это не "легко". Соотношение, указанное в этом вопросе, возможно, является самой простой из простых линеаризации общей теории относительности.

Стэн Лю

Дэвид, конечно, прав в том, что такое сравнение имеет смысл только для медленных орбит в приближении слабого поля, хотя, к счастью, это также контекст этого вопроса. Можно отметить, что для конкретного случая пространства-времени Шварцшильда орбиты точно описываются эффективным потенциалом; приближение возникает, когда радиальную координату и собственное время рассматривают так, как если бы они были ньютоновскими, что неверно в более общих ситуациях.

СтивОу

Дэвид и Стэн: Спасибо. Да, я знал, но добавил уточнение в конце вопроса.

Ответы (2)

Каково правильное соотношение ньютоновских и общерелятивистских гравитационных эффектов для Солнца + орбитальной системы с одной планетой?

Не существует какого-то определенного «соотношения». Если бы это было все, что есть в общей теории относительности, ОТО была бы легкой задачей. ГР - это не "легко". Соотношение, указанное в этом вопросе, возможно, является самой простой из простых линеаризации общей теории относительности.
Дэвид, конечно, прав в том, что такое сравнение имеет смысл только для медленных орбит в приближении слабого поля, хотя, к счастью, это также контекст этого вопроса. Можно отметить, что для конкретного случая пространства-времени Шварцшильда орбиты точно описываются эффективным потенциалом; приближение возникает, когда радиальную координату и собственное время рассматривают так, как если бы они были ньютоновскими, что неверно в более общих ситуациях.
Дэвид и Стэн: Спасибо. Да, я знал, но добавил уточнение в конце вопроса.

Стэн Лю · Answer 1

Орбиты в пространстве-времени Шварцшильда можно описать эффективным потенциалом

В_{эфф} знак равно - \frac{грамм М}{р} + \frac{л^{2}}{2 р^{2}} - \frac{грамм М л^{2}}{с^{2} р^{3}},

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$ куда

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$ - удельный угловой момент орбиты, который является сохраняющейся величиной. Первые два члена соответствуют форме ньютоновского эффективного потенциала, за исключением того, что здесь мы имеем в виду радиальную координату Шварцшильда.

r

$r$ и собственное время орбитальной частицы вместо радиального расстояния и координатного времени. Первый член — это обычный гравитационный потенциал, а второй — центробежный потенциал, поэтому формула Гольдштейна

V

$V$ вместо этого имеет некоторый смысл как термин гравитационной потенциальной энергии.

Следовательно, $l^2 = mka(1-e^2)$ с $k = GMm$ Значит это $l$ - угловой момент, $l = m\mathfrak{l}$ , и

\frac{грамм М л^{2}}{с^{2} р^{3}} м знак равно грамм М м \frac{л^{2}}{м^{2}} \frac{1}{с^{2} р^{3}} знак равно \underset{б}{\underset{⏟}{\frac{к л^{2}}{м^{2} с^{3}}}} \frac{1}{р^{3}},

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$ как говорит Гольдштейн. Если мы различаем

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$ относительно собственного времени, то

\begin{array}{rcl} м \ddot{р} - \frac{л^{2}}{м р^{3}} & знак равно & - \frac{к}{р^{2}} - \frac{3 б}{р^{4}} \\ знак равно & - \frac{к}{р^{2}} (1 + 3 \frac{л^{2}}{м^{2} с^{2}} \frac{1}{р^{2}}) \\ знак равно & - \frac{к}{р^{2}} (1 + 3 \frac{м (грамм М м) а (1 - е^{2})}{м^{2} с^{2}} \frac{1}{р^{2}}) \\ знак равно & - \frac{к}{р^{2}} (1 + 3 \frac{в_{с}^{2}}{с^{2}} \frac{а (1 - е^{2})}{р}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ Это размерно правильно, так как оба

v_{c} / c

$v_c/c$ и

a / r

$a/r$ безразмерны, а

\frac{л^{2}}{м р^{3}} знак равно \frac{к}{р^{2}} \frac{а (1 - е^{2})}{р} .

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$ Левая часть имеет ньютоновскую форму.

$\ell$ имеет измерение $MD^2/T$ из-за включения $k=GMm$ в уравнении 12.50. Может быть, Eqtn.12.48 для $b$ должен иметь $m^4$ в знаменателе, а не $m^2$ ?
Ага! Я вижу, что ошибка моя. Я перепутал угловой момент с удельным угловым моментом (без массы). Гольдштейн соглашается с Уолтером. Его $\ell^2$ нормально как второй $m$ происходит от термина $k=GMm$ .
@steveOw да, я тоже неправильно понял, как были определены переменные. Эх!
Я думаю, что ваше последнее уравнение, но одно должно иметь (a ^ 2 / r ^ 2) вместо (a / r), предполагая, что предыдущее уравнение верно. В любом случае, любое присутствие r в этом термине опровергает мой тезис... который я сейчас переоцениваю... Я могу задать отдельный вопрос, чтобы прояснить свои мысли.
@steveOw С тех пор $l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$ как введено в начале второго абзаца (см. также здесь, но с $m\ll M$ ), $a/r$ правильно. Но вы всегда можете задать любые дополнительные вопросы.
Извините, я не очень ясно выразился. Я имел в виду изменение с: $m(GMm)/(m^2r^2)$ к: $v_c^2/r$ . Мне кажется, что последний термин отсутствует $a/r$ . Что было бы справедливо только для круговой орбиты. Кстати, я разместил дополнительный вопрос здесь
@steveOw но $v_c^2 = GM/r$ уже имеет один фактор $1/r$ в нем, поэтому $1/r^2$ идет к $1/r$ , так что тоже нормально. Однако я рассмотрю ваш другой вопрос.
Ах, это объясняет несоответствие, я предполагал $v_c^2 = GM/a$ . Уолтер выходит на почти круговую орбиту, поэтому $r \approx a$ и $a(1-e^2)/r \approx 1$ . В вашей предпоследней формуле RHS внутри скобок может быть выражено $1 + 3h^2/c^2r^2$ знак равно $1+3v_T^2/c^2$ где v_T - мгновенная поперечная скорость. Который (я теперь вижу) отвечает на мой последующий вопрос. (Я посмотрю на ваш отдельный ответ для полноты).

Агерхелл · Answer 2

Выражение, которое используется NASA/JPL для аппроксимации релятивистских эффектов на орбите одной планеты плюс Солнце в нашей Солнечной системе, известно как « постньютоновское расширение » и выглядит так:

\frac{д \bar{в}}{д т} знак равно - \frac{грамм М}{р^{2}} (1 - \frac{4 грамм М}{р с^{2}} + \frac{в^{2}}{с^{2}}) \hat{р} + \frac{4 грамм М}{р^{2}} (\hat{р} \cdot \hat{в}) \frac{в^{2}}{с^{2}} \hat{в}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Если планет много, выражение усложняется. Вы можете сравнить это с классическим ньютоновским ускорением:

\frac{д \bar{в}}{д т} знак равно - \frac{грамм М}{р^{2}} \hat{р}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

Я не большой поклонник этого приближения, но это то, что в основном используется.

Для чисто круговой орбиты в координатах Шварцшильда вы получаете ту же орбитальную скорость в ОТО (в координатном времени), что и классически.

Если вы бросаете объект из состояния покоя, начальное ускорение в ОТО (в координатном времени) такое же, как и в классическом.

Как правило, если вы хотите знать, приводит ли ОТО или классическая ньютоновская гравитация к большему ускорению, вы должны решить, интересует ли вас результат в «координатном времени» или в «собственном времени», и дробь также будет варьироваться в зависимости от того, в каком направлении происходит ускорение. планета движется относительно Солнца.

Каково правильное соотношение ньютоновских и общерелятивистских гравитационных эффектов для Солнца + орбитальной системы с одной планетой?

СтивОу

Дэвид Хаммен

Стэн Лю

СтивОу

Ответы (2)

Стэн Лю

СтивОу

СтивОу

Стэн Лю

СтивОу

Стэн Лю

СтивОу

Стэн Лю

СтивОу

Агерхелл

Когда Меркурий сделает лишний оборот вокруг своей оси?

Может ли Общая теория относительности указать на зависящие от фазы изменения планетарного орбитального ускорения?

Какие из следующих утверждений о гравитационных волнах верны? [закрыто]

Чему равно ускорение координаты при чисто радиальном движении?

Откуда взялась эта знаменитая формула планетарной прецессии?

Почему Земля не сталкивается с Солнцем? [дубликат]

Стоимость разных диапазонов в спутнике

В чем разница между эффектом Ярковского и эффектом YORP?

Истинная аномалия круговой орбиты

Что имеет в виду Коперник, когда говорит, что «круги имеют полюса, отличные от [земных]»?