Может ли Общая теория относительности указать на зависящие от фазы изменения планетарного орбитального ускорения?

Поскольку у меня нет книги Уолтера, я не уверен в контексте вывода уравнения, которое вы цитируете. Поэтому я просто заново вывел его здесь; извините, если есть некоторые повторения вещей, которые вы уже знаете, но, возможно, это будет полезно для всех, кто читает это, несмотря ни на что.

Константы движения

Решение Шварцшильда — это уникальное нетривиальное сферически-симметричное вакуумное решение общей теории относительности. В системе координат Шварцшильда и единицах измерения$G = c = 1$, метрика принимает вид

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}r^2 + r^2\left(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2\right)\text{,}$$ и сразу можно заметить, что метрические коэффициенты совершенно не зависят от $t$и $\phi$, из чего следует, что $\partial_t$и $\partial_\phi$векторные поля Киллинга . Они важны здесь, потому что наряду с порождением симметрий геометрии они также производят сохраняющиеся орбитальные величины следующим образом: если задана орбита с четырьмя скоростями $u^\mu = (\dot{t},\dot{r},\dot{\theta},\dot{\phi})$, внутренний продукт с векторным полем Киллинга сохраняется: $$\epsilon = -\langle\partial_t,u\rangle = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\text{,}$$ $$h = \langle\partial_\phi,u\rangle = r^2\sin^2\theta\,\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau}\text{.}$$ Точка указывает на дифференцирование по любому аффинному параметру орбиты, который для времениподобных геодезических, подходящих для массивных частиц, мы можем без ограничения общности принять за собственное время. $\tau$. Альтернативный способ найти эти константы движения состоит в том, чтобы проинтегрировать $t$и $\phi$компоненты геодезического уравнения, но таким образом их можно сразу считывать из метрики. Это удельная энергия и удельный угловой момент орбиты соответственно. Также обратите внимание, что координаты являются аналогами сферических координат для евклидова пространства, где $\theta$- зенитный угол, а $\phi$азимут; если мы возьмем плоскость орбиты за плоскость экватора ( $\theta = \pi/2$), затем $\phi$будет представлять собой истинную аномалию.

Эффективный потенциал

Подстановка вышеуказанных констант движения в условие времениподобной мировой линии$\langle u,u\rangle \equiv g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = -1$, т.е.

$$-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 = -1\text{,}$$ можно сразу вывести эффективный гравитационный потенциал: $$\frac{1}{2}(\epsilon^2-1) = \frac{1}{2}\dot{r}^2 + \underbrace{\left[-\frac{M}{r}+\frac{h^2}{2r^2} - \frac{Mh^2}{r^3}\right]}_{V_\text{eff}}\text{,}$$ или если настаивать на формальном сравнении с ньютоновским эффективным потенциалом ( $L\equiv mh$), $$E = \underbrace{\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}}_{\text{Newtonian form}} - \frac{GML^2}{mr^3c^2}\text{.}$$

Уравнение орбиты

Дифференцирование приведенного выше эффективного потенциала дает

$$\ddot{r} + \frac{M}{r^2} - \frac{h^2}{r^3} + 3\frac{Mh^2}{r^4} = 0\text{.}$$ С точки зрения $u \equiv 1/r$со штрихом, обозначающим дифференцирование по $\phi$, $$u''= \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}\phi}\dot{u}\right) = \frac{r^2}{h}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{r^2}{h}\left(-r^{-2}\dot{r}\right)\right) = -\frac{\ddot{r}r^2}{h^2}\text{,}$$ это дает после умножения на $-r^2/h^2$, $$u'' + u = \frac{M}{h^2} + 3Mu^2\text{.}$$ Однако на самом деле нет необходимости рассматривать второй порядок в любой точке; есть проще с точки зрения $V \equiv V_\text{eff} - h^2/2r^2$, эффективный потенциал без члена центробежного потенциала: $$\begin{eqnarray*} \frac{2}{h^2}\left[\frac{E}{m}-V\right] &=& \frac{\dot{r}^2}{h^2} + \frac{1}{r^2} \\&=& \frac{1}{r^4}\left[\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi}\right]^2 + u^2 \\&=& (u')^2 + u^2\text{.} \end{eqnarray*}$$

Уолтер вывел приблизительное соотношение, предполагая круговую орбиту. Гольдштейн сосредоточился на получении усредненного по орбите выражения для прецессии перигелия. При повторном изучении этих текстов мне кажется, что ОТО дает больше, чем просто приближение, усредненное по орбите. ... Уолтер представляет следующее уравнение для орбиты ОТО (модель Шварцшильда)

$$u''_\theta + u_\theta =\frac{\mu}{h^2} + \frac{3\mu}{c^2}\,u_\theta^2$$

Сразу видно, что уравнение Уолтера — это приведенное выше уравнение второго порядка, только в нормальных единицах, а не в$G = c = 1$. Я не знаю, каков аргумент Уолтера (готов поспорить, приближение происходит потому, что Уолтер заменил случай круговой орбиты на$L^2$или$h^2$где-то), но это конкретное соотношение верно именно для массивных пробных частиц в пространстве-времени Шварцшильда. Это даже не обязательно должна быть связанная орбита, хотя, конечно, если кого-то интересует конкретно прецессия, она должна быть по крайней мере связанной, чтобы прецессия имела смысл. Светоподобные геодезические описываются примерно тем же уравнением, только без$M/h^2$срок.

Кроме того, мы можем также переформулировать его как

$$u'' + u = \frac{M}{h^2}\left[1 + 3\frac{h^2}{r^2}\right] \leadsto \frac{\mu}{h^2}\left[1+3\frac{h^2}{r^2c^2}\right]\text{,}$$ который после замены $V_t\equiv r\dot{\phi} = h/r$это то, что у вас есть.

Заключение

... поэтому альтернативной, более приемлемой, зависящей от расстояния формой отношения ускорений ... будет: -

$$1\;\text{to}\;\frac {3 h^2}{c^2 \, r_\theta^2}\text{.}$$ Уравнения ОТО/Шварцшильда относятся к собственному времени и радиальному расстоянию Шварцшильда, а не к их ньютоновским эквивалентам, поэтому строго отношение ускорений все еще является приближением.

Этот анализ действителен, или я что-то упустил?

В основном это правильно, но я хотел бы, чтобы вы предостерегали вас от нескольких моментов, касающихся того, как вы формулируете проблему и интерпретируете результат, хотя вы, вероятно, уже знаете о некоторых из них:

1. Координата времени Шварцшильда$t$сильно отличается от правильного времени$\tau$. Первая представляет собой специальную координату, в которой геометрия Шварцшильда не зависит от времени. Он определяет мировые линии семейства наблюдателей, стационарных по отношению к геометрии, и его масштабирование соответствует стационарному наблюдателю на бесконечности. С другой стороны, собственное время — это просто время, измеренное вдоль некоторой конкретной мировой линии; в этом контексте - орбитальной пробной частицей.

2. Радиальная координата Шварцшильда$r$не является радиальным расстоянием. Его можно было бы назвать площадным радиусом в том смысле, что он выбран для создания сферы постоянной$r$иметь площадь ровно$4\pi r^2$, но обычно ее называют просто радиальной координатой Шварцшильда . В координатной диаграмме Шварцшильда радиальное расстояние между радиальными координатами Шварцшильда$r = r_0$и$r = r_1$будет дано

   $$D = \int_{r_0}^{r_1}\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}\text{,}$$ и было бы расстоянием, которое можно было бы измерить, если бы кто-то медленно полз вдоль радиального направления от$r = r_0$к$r = r_1$с каким-нибудь идеальным метром, в пределе нулевой скорости. Конечно,$r$может служить приближением к радиальному расстоянию в соответствующих контекстах, но дело в том, что не только$r$не может быть ньютоновским радиальным расстоянием, на самом деле это и не «радиальное расстояние Шварцшильда ».

3. Слово « ускорение » здесь неуместно. Если мы имеем в виду вторую производную нашей радиальной координаты по собственному времени, то нет,$\ddot{r}_\text{GTR}/\ddot{r}_\text{Newtonian}$не очень упрощает, но вы все равно вычисляете его из приведенного выше. С другой стороны, если мы имеем в виду вторую производную обратной радиальной координаты по азимутальному углу, то да, вышесказанное верно.

Но тогда действительно не имеет смысла называть это «ускорением», не так ли? Это объясняет (если ваш предыдущий вопрос был точным в этой формулировке), почему Уолтер использует более расплывчатый термин «эффекты», говоря о приведенном выше соотношении.

Вместо этого (еще раз используя преднамеренное смешение между$r$,$\tau$и их ньютоновские аналоги в качестве приближения или аналогии), вероятно, было бы лучше просто думать о геометрии Шварцшильда как о введении в потенциал нового члена, аналогичного квадрупольному моменту, который также поместил бы$\propto 1/r^3$член в потенциал, при этом соответствующее уравнение Ньютона имеет вид

$$(u')^2 + u^2 = \frac{2}{h^2}\left(\frac{E}{m} - \Phi(u)\right)\text{.}$$ И эффективный потенциал, и уравнение первого порядка в $u$обеспечивают гораздо более прямую аналогию между случаями Ньютона и Шварцшильда.

На самом деле это довольно интересно: если предположить, что Солнце действительно имеет квадрупольный момент, например, вызванный сжатием Солнца, то можно легко объяснить смещение перигелия Меркурия. Однако, поскольку это просто аналогия, возложение ответственности за поведение Меркурия на это одновременно испортило бы поведение других планет (поскольку новый термин зависит от орбитального углового момента) и было бы еще более непоследовательным для орбит вне экваториальной плоскости (поскольку фактическое сжатие должно имеют квадрупольный член, зависящий от зенитного угла, тогда как ОТО не зависит).

Также можно думать о самой геометрии Шварцшильда как о скалярном поле, которое мы можем аналогичным образом разложить на сферические гармонические составляющие. Естественно, как и многое из вышеперечисленного, эта особенность специфична для тонкости сферически-симметричного вакуума.

Альтернативное выражение для дополнительного (сверхньютоновского, релятивистского) ускорения (представленное моему вниманию пользователем /u/uhoh) представлено Шахид-Салессом (Колорадо) и Йомансом (Лаборатория реактивного движения) в их статье 1994 года в Astronomical Journal: Relativistic Effects . о движении астероидов и комет .

Их уравнение 3.11 для ньютоновского + релятивистского ускорения одиночного тела-мишени, вращающегося вокруг Солнца, выглядит следующим образом:

$$\frac{d^2 \textbf{r}}{c^2dt^2} = \frac{-\mu}{r^3}\textbf{r} + \frac{\mu}{r^3} \left[ \left(4\frac{\mu}{r}-\frac{v^2}{c^2}\right)\textbf{r} + 4 \frac{(\textbf{r}\textbf{.v})\textbf{v}}{c^2}\right]$$ куда

$\textbf{r}$- мгновенный вектор положения тела-мишени относительно Солнца,

$\textbf{v}$- мгновенный вектор скорости тела-мишени относительно Солнца,

$c$это скорость света,

$\mu = GM/c^2$- Шварцшильдовский гравитационный радиус Солнца,

$G$универсальная гравитационная постоянная,

$M$- (постньютоновская) масса Солнца,

$\frac{-\mu}{r^3}$первый член в правой части представляет собой ньютоновское радиальное ускорение с отрицательным знаком, указывающим на ускорение по направлению к источнику.

Авторы представляют вывод уравнения (который находится за пределами моей компетенции). Они также используют его для получения выражения для$\delta \omega$количество (в радианах) поворота линии апсид за полный ($2\pi$радианы) орбитальный оборот:-

$$\delta\omega = \frac{6\pi\mu}{a(1-e^2)} \equiv \frac{6\pi GM}{c^2 a(1-e^2)} \equiv \frac{24\pi^3 a^2}{T^2c^2 (1-e^2)}$$

куда$a$- большая полуось орбиты,$e$- эксцентриситет орбиты, а$T$- период обращения.

Самая правая версия идентична уравнению Эйнштейна 1915 года , представленному в вопросе.

Примечательно, что уравнение Шахида-Салесса и Йоманса (3.11) показывает, что когда$\textbf{v}$не перпендикулярно$\textbf{r}$часть неньютоновского ускорения будет направлена ​​в направлении, поперечном радиальному направлению.

Обратите внимание, что при переходе между общей релятивистской моделью пространства-времени и моделью Евклида-Галилея применяются предостережения - см. ответ Стэна Лиу и саму статью Шахида-Салесса и Йоманса.