Откуда взялась эта знаменитая формула планетарной прецессии?

Question

Откуда взялась эта знаменитая формула планетарной прецессии?

СтивОу

Следующее уравнение (которое я буду называть формулой планетарной прецессии, сокращенно PPF) появилось в публикации Эйнштейна 1915 года, где он указал, как его можно вывести из его общей теории относительности (ОТО).

ϵ знак равно \frac{24 π^{3} а^{2}}{с^{2} Т^{2} (1 - е^{2})}

$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$

куда $\epsilon$ - (аномальная, неньютоновская) угловая прецессия на орбиту, $a$ - большая полуось орбиты, $c$ это скорость света, $T$ - орбитальный период, $e$ – эллиптичность орбиты.

Формула PPF точно предсказывает (аномальную, неньютоновскую) прецессию Меркурия и других солнечных планет.

Эта формула была известна в научных кругах задолго до 1915 года. Например, Гербер (1898) вывел ее из своей собственной (высмеиваемой) модели гравитации. В интернет-статье Gerber's Gravity написано, что

В 1890-х годах среди физиков стало довольно популярным занятием предлагать различные гравитационные потенциалы, основанные на конечной скорости распространения, чтобы объяснить часть или всю орбитальную прецессию Меркурия. Оппенгейм опубликовал обзор этих предложений в 1895 году. Типичным результатом таких предложений является предсказанное неньютоновское продвижение перигелия орбиты за один оборот... >

к \frac{π м}{л с^{2}} знак равно к \frac{4 π^{3} а^{2}}{с^{2} Т^{2} (1 - е^{2})} .

$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$

куда $L = a(1 - e^2)$ полуширокая прямая кишка эллипса, $m$ является функцией угловой скорости $\omega$ орбитальной планеты: $m = a^3 \omega^2$ с $\omega = 2\pi/T$ и $k$ константа, которая может быть выведена из теории.

Ясно с $k = 6$ мы получаем приведенную выше формулу PPF.

Я хочу знать, где $k\pi m/Lc^2$ выражение происходит от. Судя по статье, это взято из 28-страничной обзорной статьи Оппенгейма, 1895 г., которая сканируется здесь . Я просмотрел эту статью, но так и не нашел это уравнение в явном виде (статья написана на немецком языке, который я знаю очень плохо, Google Translate немного помогает, но оставляет много неясностей). Возможно, анонимный автор статьи извлек это выражение из обзора статьи Оппенгейма или даже из самих оригинальных статей (французской и немецкой), но с ним нельзя связаться. Может быть, кто-то здесь знаком с этой эпохой астрофизической истории и может указать мне правильное направление?

Стэн Лю

Интересный вопрос. Небольшое педантичное замечание: если вы поместите точку в большие математические среды, как в $$formula\text{.}$$, то вы не получите конечную точку в одной строке.

СтивОу

@Стэн Лью. Хороший стиль помогает в общении, поэтому я рад получить любые такие советы :).

Ответы (1)

Откуда взялась эта знаменитая формула планетарной прецессии?

Интересный вопрос. Небольшое педантичное замечание: если вы поместите точку в большие математические среды, как в $$formula\text{.}$$, то вы не получите конечную точку в одной строке.
@Стэн Лью. Хороший стиль помогает в общении, поэтому я рад получить любые такие советы :).

Стэн Лю · Answer 1

Я не знаю, где эта формула была впервые опубликована полностью, но Оппенгейм, по крайней мере, делает что-то очень близкое к ней. Во-первых, имейте в виду некоторые из соответствующих символов в Оппенгейме, хотя они довольно стандартны:

\begin{array}{rcl} к & знак равно & \sqrt{г} знак равно Гауссова гравитационная постоянная \\ ☊ & знак равно & долгота восходящего узла \\ ю & знак равно & аргумент перигелия \\ ϖ & знак равно & ю + ☊ знак равно долгота перигелия \\ н & знак равно & к \sqrt{(м_{0} + м_{1}) / а^{3}} знак равно среднее движение \end{array}

$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$ Мы можем видеть, что если изменить нотацию, искомая пропорциональность эквивалентно формулируется как:

\frac{π м}{л с^{2}} ⇝ \frac{π г М}{а (1 - е^{2}) с^{2}} ⇝ \frac{π н^{2} а^{2}}{(1 - е^{2}) с^{2}} .

$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$ Так как среднее движение

n \equiv 2 π / T

$n\equiv 2\pi/T$ , куда

T

$T$ - орбитальный период,

\frac{н^{3} а^{2}}{с^{2}} знак равно 2 π \frac{н^{2} а^{2}}{с^{2}} \frac{1}{Т},

$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$ это означает, что если мы хотим говорить о смещении перигелия на

δ ϖ \propto \frac{π n^{2} a^{2}}{(1 - e^{2}) c^{2}}

$\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ на орбиту, то эквивалентно говорить о термине в виде

\frac{г ϖ}{г т} \propto \frac{н^{3} а^{2}}{(1 - е^{2}) с^{2}} знак равно \frac{н^{3} а^{2}}{с^{2}} (1 + е^{2} + О (е^{4})) .

$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$ Я не могу найти, где, если вообще где- нибудь , Оппенгейм считает недостающим фактором

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ как принадлежность к аномальной прецессии, а в остальном формула точно есть. Я подозреваю, что он использует только приближение круговой орбиты,

e^{2} \approx 0

$e^2\approx 0$ , потому что его нигде нет в гл. IV (теория Вебера 1846 г.) и выполнение его вычислений (без

1 - e^{2}

$1-e^2$ ) дает мне

δ ϖ = {13.72}^{″}

$\delta\varpi = 13.72''$ в столетие для Меркурия, что хорошо согласуется с заявленным им результатом

δ ϖ = {13.65}^{″}

$\delta\varpi = 13.65''$ , тогда как ввод множителя

(1 - e^{2})

$(1-e^2)$ вручную дает

δ ϖ = {14.32}^{″}

$\delta\varpi = 14.32''$ вместо.

Возможно, Оппенгейм не учел это явно, и автор статьи счел MathPagesочевидным, что фактор эксцентриситета должен присутствовать. Или, возможно, в тексте есть побочный комментарий, которого я не вижу; к сожалению, я недостаточно свободно говорю по-немецки, чтобы понять большую часть того, что происходит.

Спасибо за указание смысла $k$ и упущение $(1-e^2)$ . Я понимаю $e$ появление в $dL_o/dt = (1/2)e^2.n^3a^2/c^2$ в нижней части Оппенгейма, стр. 22. $e$ также появляется в $d\varpi/dt$ стр. 27 (фон Клаузиус). Но они не в ожидаемом виде $1/(1-e^2)$ , как вы указываете.

Откуда взялась эта знаменитая формула планетарной прецессии?

СтивОу

Стэн Лю

СтивОу

Ответы (1)

Стэн Лю

СтивОу

Когда Меркурий сделает лишний оборот вокруг своей оси?

Может ли Общая теория относительности указать на зависящие от фазы изменения планетарного орбитального ускорения?

Какие из следующих утверждений о гравитационных волнах верны? [закрыто]

Каково правильное соотношение ньютоновских и общерелятивистских гравитационных эффектов для Солнца + орбитальной системы с одной планетой?

Чему равно ускорение координаты при чисто радиальном движении?

Почему Земля не сталкивается с Солнцем? [дубликат]

Стоимость разных диапазонов в спутнике

В чем разница между эффектом Ярковского и эффектом YORP?

Истинная аномалия круговой орбиты

Что имеет в виду Коперник, когда говорит, что «круги имеют полюса, отличные от [земных]»?