Каково соотношение флуктуации-диссипации для неквадратичных кинетических энергий?

Недавно я попытался войти в контакт со статистической механикой. Я совсем новичок в этой сфере и поэтому многие вещи мне непонятны. В настоящее время у меня есть вопрос относительно соотношения диссипация-флуктуация для уравнений Ланжевена, индуцированных гамильтоновыми системами для частиц.

Позволять д быть вектором положений частиц и п быть вектором скорости. Мне сказали, что для сепарабельного гамильтониана

ЧАС ( д , п ) "=" В ( д ) + 1 2 п Т М − 1 п
где В является потенциальным и М является массовой матрицей, соответствующее уравнение Ланжевена имеет вид
г д ( т ) "=" М − 1 п ( т ) г т , г п ( т ) "=" − ∇ В ( д ( т ) ) г т − γ ( д ( т ) ) М − 1 п ( т ) г т + о ( д ( т ) ) г Вт т
где Вт т является броуновским движением и γ , о являются матрицами. Кроме того, мне сказали, что соотношение флуктуации-диссипации выполняется, если о о Т "=" 2 γ к Б Т правда.

Теперь мой вопрос: что произойдет, если я изменю кинетический член в гамильтониане? То есть, если я заменю термин 1 2 п Т М − 1 п более общей кинетической энергией Е к я н ( п ) ? Могу ли я по-прежнему формулировать соотношение флуктуации-диссипации как о о Т "=" 2 γ к Б Т или он меняется?

Большое спасибо за вашу помощь!

Ответы (1)

Добро пожаловать в StackExchange по физике! Но я заметил, что у вас большой опыт работы с Math StackExchange, где вы могли бы получить более подробные и точные ответы на этот вопрос, конечно, по сравнению с довольно простым ответом, который я собираюсь дать.

Короткий ответ заключается в том, что соотношение флуктуации и диссипации останется неизменным, но изменятся сами уравнения. Изменение выражения кинетической энергии имеет два основных следствия, которые необходимо связать друг с другом. Во-первых, равновесное распределение при температуре Т в каноническом ансамбле,

р е д ( д , п ) "=" опыт ⁡ [ − В ( д ) / к Б Т ] опыт ⁡ [ − Е к я н ( п ) / к Б Т ]
больше не будет многомерной гауссовой функцией импульсов. Это утверждение в основном возникает без учета динамики, но, конечно же, динамика должна ему соответствовать! Во-вторых, классические (гамильтоновы) уравнения движения, к которым должны сводиться уравнения Ланжевена при отсутствии фрикционных и случайных силовых членов, примут свой более общий вид
г д "=" ∇ п Е к я н ( п ) г т , г п "=" − ∇ д В ( д ) г т
Тогда уравнения Ланжевена становятся
г д "=" ∇ п Е к я н ( п ) г т , г п "=" − ∇ д В ( д ) г т − γ ∇ п Е к я н ( п ) г т + о г Вт
где о о Т "=" 2 γ к Б Т . Таким образом, правая часть уравнения эволюции положения и член трения в уравнении эволюции импульса имеют простую линейную зависимость от импульса, замененную соответствующим выражением, полученным из Е к я н . Флуктуационно-диссипативное выражение не меняется. Я предположил, что γ и о являются константами, но я подозреваю, что те же самые уравнения могут быть написаны для функций, зависящих от положения.

Существенным моментом является то, что должна быть возможность преобразовать уравнение Ланжевена в уравнение Фоккера-Планка для функции распределения р ( д , п , т ) , а затем показать, что р е д ( д , п ) является стационарным решением этого уравнения. Я полагаю, что гамильтонова форма детерминированных частей приведенных выше уравнений помогает установить это, хотя я не могу утверждать, что сам работал с этим. Я полагаю, что можно показать, что гамильтонов поток (в фазовом пространстве) вместе с потоком в импульсном пространстве из-за комбинированных диссипативных и стохастических членов оставляет каноническое распределение инвариантным при условии, что о задается выражением FD. Вывод должен быть аналогичен тому, который применяется для квадратичной кинетической энергии.

Я уверен, что учебники по стохастическим дифференциальным уравнениям дадут больше информации, но приведенные выше уравнения я видел в этой статье Штольца и Трстановой , которая в итоге была опубликована в Multiscale Model Simul, 16, 777 (2018) , а также в докторской диссертации Трстановой. тезисы, которые можно найти на этой странице . Акцент в этих публикациях делается на численном решении уравнений Ланжевена, но справочный материал весьма информативен.

Большое спасибо за этот замечательный ответ, который даже более подробный, чем я надеялся. Я хотел бы подчеркнуть, что намек на литературу по динамике Ланжевена с общей кинетикой, вероятно, стоит попробовать каждому, кто хотел бы узнать больше.
Каково соотношение флуктуации-диссипации для неквадратичных кинетических энергий?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v