Теорема о флуктуации-диссипации и соотношения Крамерса-Кронига

Соотношение Крамерса-Кронига можно понимать как требование, чтобы$\operatorname{Re} \chi(\omega)$является четной функцией, а$\operatorname{Im} \chi(\omega)$- странная функция - см. этот ответ и связанную с ним Википедию .

Общая теорема о флуктуации-диссипации обычно записывается как пропорциональность между энергетическим спектром флуктуаций и мнимой частью функции отклика Фурье:

$$S_x(\omega) = \frac{2kT}{\omega}\operatorname{Im} \chi(\omega)$$ В то время как левая часть приведенного выше выражения$S_x(\omega)=\langle x(\omega)x^*(\omega)\rangle$легко интерпретируется как «флуктуационная» часть. Совсем не очевидно, что$\operatorname{Im} \chi(\omega)$связано с «рассеиванием». В приведенном ниже стандартном выводе используются требования симметрии Крамерса-Кронига и ссылки.$\operatorname{Im} \chi(\omega)$к диссипации системы.

Предполагая, что у нас есть наблюдаемая$x(t)$, стохастическая внешняя сила$f(t)$и функция отклика$\chi(t)$связаны через:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau\; \chi(t-\tau)f(\tau)$$

Мы хотим вычислить рассеиваемую мощность$f(t)\dot x(t)$под периодической силой$f(t) = A \cos\Omega t$. Для этого сначала упростим выражение для$\dot{x}(t)$. Взятие производной дает нам фактор$-i\omega$и интеграция$\tau$дает двойную-$\delta$преобразование Фурье косинуса:

$$\dot{x}(t) = \int \frac{d\omega}{2\pi}(-i\omega) e^{-i\omega t}\chi(\omega) \pi A[\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega+\Omega)]$$

Интеграция$\delta$с мы получим:

$$\dot{x}(t) =-iA\frac\Omega2\left[\chi(\Omega)e^{-i\Omega t} - \chi(-\Omega)e^{i\Omega t} \right]$$

Теперь умножаем на$f(t)$и в среднем за один период:

$$\langle W\rangle = \frac{\Omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\Omega}dt\;f(t)\dot{x}(t) = -\frac{i A^2\Omega}{4} \left[\chi(\Omega) - \chi(-\Omega)\right] = \frac12 A^2\Omega\operatorname{Im}\chi(\Omega)$$ В последнем равенстве мы использовали ту действительную часть$\chi(\omega)$четно, а мнимое нечетно.
Это ссылки$\operatorname{Im} \chi(\omega)$к диссипации с использованием соотношений Крамерса-Кронига.