Почему синглетное состояние для двух частиц со спином 1/2 антисимметрично?

Давайте на время забудем, что два$m=0$состояния существуют, и рассмотрим только два полностью выровненных триплетных состояния,$\newcommand\ket[1]{\left|{#1}\right>} \newcommand\up\uparrow \newcommand\dn\downarrow \newcommand\lf\leftarrow \newcommand\rt\rightarrow$ $\ket{\up\up}$и$\ket{\dn\dn}$. Между ними нет никакой физической разницы: вы можете «трансформировать» свое состояние из одного в другое, изменив систему координат или встав на голову. Таким образом, любое физическое наблюдаемое между ними также должно быть одинаковым.

Любое из одночастичных состояний является собственным состоянием оператора спина на$z$-ось,

Но давайте предположим, что на пути к обращению вспять$z$-ось, вас прерывают на полпути. Теперь у меня есть система, которая, я думаю, имеет два вращения вдоль$z$-ось, а ты лежишь на боку и думаешь, что мои вращения выровнены по$x$-ось. $x$-оператор вращения оси обычно

Там, где я вижу, что мои одночастичные спины являются собственными состояниями$\sigma_z$,

Если вы$z$шовинистом и настаивают на анализе моего тщательно подготовленного$\ket{\rt\rt}$государство в вашем$\up\dn$основе, вы найдете этот беспорядок:

Это состояние, имеющее четко выраженную$m=1$в моей системе координат не имеет четко определенного$m$в вашей системе координат: повернув голову и не согласившись с тем, какой путь вверху, вы представили оба$\ket{\up\up}$и$\ket{\dn\dn}$в вашу модель. Вы также ввели симметричную комбинацию$\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}$.

И здесь вступает в действие аргумент симметрии. Триплетные и синглетные состояния различимы, потому что они имеют разные энергии. Если вы предлагаете симметричную комбинацию$\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}$является синглетным состоянием, то мы с вами будем предсказывать различные энергии для системы, основываясь только на том, как мы решили наклонить голову. Любая модель, утверждающая, что энергия системы должна зависеть от того, как я наклоняю голову, когда смотрю на нее, неверна . Итак$m=0$проекция триплетного состояния должна быть симметричной, чтобы иметь ту же симметрию при обмене, что и$m=\pm1$проекции.

Есть как минимум 2 подхода. Один из них — просто показать, что он симметричен, применив нижний оператор для полного спина к максимальному$S_z$состояние, которое должно удовлетворять ($\hbar=1$):

так

Это дает хорошую демонстрацию того, как работать с лестничными операторами, но есть гораздо более глубокая причина, по которой он должен быть симметричным.

Чтобы найти вращательно-инвариантные подпространства тензорного произведения$N$состояния с размерностью$d$вы делаете следующее (это просто набросок процедуры):

Находить$N$. Это$N=2$, теперь разделяем$2$всеми возможными способами:

и

Для каждого из этих разбиений мы рисуем диаграммы Юнга и связываем их с неприводимыми представлениями группы подстановок на$N=2$буквы. Это называется перепиской Робинсона-Шенстеда.

Возьмите$2=2$составьте схему и составьте нормальную таблицу Юнга, а затем вычислите симметризатор Юнга. В этом случае вы получаете чисто симметричный оператор:$S=(1 + e_{2,1})/\sqrt 2$

Для$2=1+1$, вы делаете то же самое, чтобы получить антисимметричный оператор:$A=(1 - e_{2,1})/\sqrt 2$.

Двойственность Шура-Вейля говорит нам, что применение их к индексам (здесь, к меткам частиц) покажет нам вращательно-инвариантные подпространства этого пространства тензорного произведения; кроме того, замечательная формула длины крюка сообщает нам размеры подпространства и результат для$d=2$симметричный${\bf 3}$размеры, а антисимметричность${\bf 1}$.

Это написано:

Так что просто должно быть так, что все состояния в триплете имеют одинаковую обменную симметрию.

Обратите внимание, что можно добавить еще один спин$\frac 1 2$, и вся процедура покажет вам, что:

что означает четыре$S=\frac 3 2$состояния симметричны и есть два дублета$S=\frac 1 2$состояния со смешанной симметрией, соответствующие разбиениям:

и

Обратите внимание, что формула длины крюка для:

дает подпространство нулевой размерности: не существует антисимметричной комбинации трех спинов.

Если$\:\mathsf{H}_{\boldsymbol{\alpha}},\mathsf{H}_{\boldsymbol{\beta}}\:$двумерные гильбертовы пространства двух частиц$\:\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\:$со спинами$\:1/2\:$тогда составная система живет в произведении 4-мерного гильбертова пространства

Согласно вашему последнему вопросу, синглетное состояние

$\newcommand\ket[1]{\left|{#1}\right>} \newcommand\up\uparrow \newcommand\dn\downarrow \newcommand\lf\leftarrow \newcommand\rt\rightarrow$ $\ket{0,0} = \frac{\ket{\up \dn} + \ket{\dn\up}}{\sqrt2}$

не может быть действительным, а одно из состояний триплета (пусть это$\ket{1,0}$) можно записать как

$\ket{1,0} = \frac{\ket{\up\dn} + \ket{\dn\up}}{\sqrt2}$

как это можно показать ниже.

Определение оператора спинового обмена как

$P\mid \chi_{\uparrow\downarrow} \rangle = \mid\chi_{\downarrow\uparrow} \rangle , P\mid \chi_{\downarrow\uparrow} \rangle =\mid \chi_{\uparrow\downarrow} \rangle$

что подразумевает

$P\mid \chi_{\text{sym.}} \rangle = \mid \chi_{\text{sym.}} \rangle , P \mid \chi_{\text{asym.}} \rangle = -\mid \chi_{\text{asym.}} \rangle$

Вышеупомянутое синглетное состояние становится,

$P \ket{0,0} = \frac{\ket{\dn\up} + \ket{\up \dn} }{\sqrt2} \neq -\ket{0,0}.$

тогда как для второго триплетного состояния мы пишем

$P \ket{1,0} = \frac{ \ket{\dn\up} + \ket{\up\dn} }{\sqrt2} = \ket{1,0}.$

Все синглетные и триплетные состояния антисимметричны. Для триплетного состояния пространственная часть симметрична, а спиновая часть антисимметрична. Для синглетного состояния все наоборот. При этом пространственные орбитали могут перекрываться или даже совпадать. В триплетном состоянии m=0 спины выровнены, но ориентированы перпендикулярно оси квантования.