Каковы философские следствия теории категорий?

В Стэнфордской энциклопедии философии есть обширная статья о теории категорий и ее философских последствиях. О значении теории говорится, что:

Теория категорий бросает вызов философам двумя способами, которые не обязательно исключают друг друга. С одной стороны, задачей философии, безусловно, является прояснение общего эпистемологического и онтологического статуса категорий и категориальных методов как в математической практике, так и в фундаментальном ландшафте. С другой стороны, философы и философы-логики могут использовать теорию категорий и категориальную логику для исследования философских и логических проблем.

Таким образом, очевидно, что теория категорий имеет отношение и имеет значение как для математики, так и для философии, а не только для семантики. С точки зрения математики теория категорий очень важна, потому что «выполнение математики в категориальной структуре почти всегда радикально отличается от ее выполнения в теоретико-множественной структуре».

В статье приводится перечень философских результатов, следующих из теории категорий, таких как:

Иерархия категориальных учений: регулярные категории, связные категории, категории Гейтинга и булевы категории; все они соответствуют четко определенным логическим системам вместе с дедуктивными системами и теоремами полноты; они предполагают, что логические понятия, включая кванторы, возникают естественным образом в определенном порядке, а не организованы случайным образом.

И в нем также упоминается, что «теория категорий позволила разработать методы, которые изменили и продолжают изменять лицо математики».

Это только примеры, которые начинают отвечать на ваши вопросы; в (отличной) статье слишком много всего, чтобы поместить ее здесь, но ее чтение должно хорошо дополнить ответы.

Следующая цитата взята из статьи в Википедии о структурализме:

Структурализм — это теоретическая парадигма, которая подчеркивает, что элементы культуры следует понимать с точки зрения их отношения к более крупной всеобъемлющей системе или «структуре». Другими словами, структурализм постулирует, что дискретные культурные элементы не являются объяснительными сами по себе, а скорее являются частью значимой системы и лучше всего понимаются с точки зрения их местоположения внутри (и отношения к) структуры в целом.

Я думаю, что это очень напоминает философию теории категорий (исключительно в математических терминах) в той мере, в какой она у нее есть. На самом деле, я бы даже сказал, что теория категорий представляет собой реализацию этой общей философской идеи в точной математике и доказала, что она здесь очень успешна.

Конкретный пример может показать, что я подразумеваю под этим в явном виде: возьмем простейшую математическую операцию, которую мы можем себе представить, — операцию сложения. Первоначально это было определено по отношению к целым числам, и было видно, что они следуют определенным правилам (т. е. существование тождества и ассоциативного закона). Обратите также внимание, что для сложения двух целых чисел нам не нужна помощь третьего, он определяется исключительно с точки зрения двух целых чисел, которые у нас есть.

С рождением современной алгебры и изобретением новых математических структур, скажем для простоты - групп, каждая из которых внутренне имела понятие сложения (можно было сложить два элемента группы, чтобы получить третий, и фактически это характеризует, что группа) и внешнее понятие сложения (вы могли сложить две разные группы вместе, чтобы получить третью, у вас также было существование тождества и ассоциативного правила, поэтому это называется сложением).

Было отмечено, что в других алгебраических системах сохраняется тот же образец: у вас есть внутренние операции, которые характеризовали этот отдельный экземпляр такого рода алгебраической системы, и внешнее сложение. Теперь эти внешние дополнения для каждой категории алгебраических систем были разными, и проблема состояла в том, чтобы придумать единообразное определение. В конце концов было замечено, что определение этого внешнего дополнения со ссылкой на любую другую алгебраическую систему такого рода дает единообразное определение (его обычно называют универсальным свойством/определением) и, кроме того, это определение не относится непосредственно к внутренней структуре любой из этих алгебраических систем. системы, а скорее то, как они связаны друг с другом (называемый морфизмом в теории категорий).

Наконец, чтобы замкнуть круг, используя это определение в категории конечных множеств (для которых не заданы внутренние операции), мы обнаруживаем, что заново изобретаем целые числа.

В современной континентальной философии я знаю, что Бадью использует теорию категорий в более позднем развитии своих мыслей, хотя я не могу сказать, что понимаю, что он делает, поэтому я не собираюсь ничего об этом говорить. Однако см. «Логика миров». Ниже приводится цитата с этого сайта: http://theimmeasurableexcess.blogspot.com/2008/07/badiou-and-deleuze-brothers-in.html

«Бадью использует два разных режима: бытие/онтологическая/теория множеств и явление/логика/теория категорий».

Создается впечатление, что разум использует теорию категорий, чтобы систематизировать и ориентироваться в своих знаниях:

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.1000858

В статье показано, как систематичность, то есть способность обобщать и извлекать знания без ложных выводов, которые являются кошмаром для искусственного интеллекта, например: машина может быть красной, следовательно, красные цветы могут потреблять топливо, естественным образом возникает из мыслительных процессов (поведенческих ), которые следуют правилам теории категорий.

«Наши умы не являются суммой какого-то произвольного набора умственных способностей. Вместо этого наши умственные способности входят в группы связанных поведений. Это свойство человеческого познания имеет существенное биологическое преимущество в том, что преимущества, обеспечиваемые когнитивным поведением, переносятся на связанную ситуацию. без каких-либо затрат, связанных с приобретением такого поведения в первую очередь [...] систематичность возникает как естественное следствие структурных отношений между когнитивными процессами, а не как опора на конкретные детали когнитивных репрезентаций, на которых эти процессы работают, и не полагаясь на слишком сильные предположения»

Я думаю, что отношения между категориями математики и категориями как ментальными рассуждениями философии и психологии, наконец, очень близки.

Поскольку это имеет отношение к структуре человеческого разума и, следовательно, к структуре реальности, которую мы воспринимаем, и к тому, как мы думаем и действуем в отношении воспринимаемой, это может дать определенную поддержку аристотелевско-томистической философии о сущностях и твердая поддержка рассуждений по аналогии.

По аналогии из википедии:

http://en.wikipedia.org/wiki/Аналогия

Стивен Филлипс и Уильям Х. Уилсон [18] [19] используют теорию категорий, чтобы математически продемонстрировать, как аналогичное рассуждение в человеческом разуме, свободное от ложных выводов, которые мешают традиционным моделям искусственного интеллекта (так называемая систематика), может возникнуть естественным образом. от использования отношений между внутренними стрелками, которые сохраняют внутренние структуры категорий, а не просто отношения между объектами. Таким образом, разум может использовать аналогии между областями, внутренние структуры которых соответствуют естественному преобразованию, и отбрасывать те, которые не соответствуют.

Если ОП позволит мне перефразировать вопрос, чтобы я мог дать какой-то ответ: «Есть ли какая-либо связь между теорией категорий, которую практикуют математики сегодня, и категориями Аристотеля, как это видно из его ОРГАНОНА»?

Да, связь есть, но она не прямая. В «PRIOR ANALYTICS» мы видим первый систематический анализ логики на Западе, который принимает форму двухчленного исчисления высказываний. Эта относительно простая схема допускает небольшое количество категорий, которые Аристотель использовал для классификации предложений.

В 19 веке Буль расширил результаты Аристотеля, включив произвольное количество терминов, что сделало невозможным создание каталога. В своих «ЗАКОНАХ МЫСЛИ» Буль доказал, что число категорий бесконечно.

В 20 веке Стоун доказал, что любая булева алгебра также является множеством. Это связь с теорией категорий. Категории используются при оценке наборов с помощью алгебры.

Так вот это связь! Начиная с категорий Аристотеля, продолжая алгеброй Буля и заканчивая множествами Стоуна. Все соответствующие материалы находятся в открытом доступе, если вы захотите их прочитать.